Exos sympas MP(*)

[Contrexemple]

Si vous avez le niveau agreg et que vous voulez quelques choses de difficiles :

https://mathoverflow.net/questions/2739 ... it-abelian

https://mathoverflow.net/questions/3534 ... l-of-sqrt2


PS : je ne sais qu'un énoncé est difficile que lorsqu'il résiste...

[GaBuZoMeu]

Le problème, c'est que tu n'as vraisemblablement pas de solution à ces problèmes qui tienne la route.

[E3A 4ever]

Or il est clair que P n'a pas de racines dans R+, puisqu'à coefficients positifs avec a0>0...

Pourquoi?

En effet on pourrait très bien avoir un nombre paire de racines dans $\mathbb R_+^*$ et le reste des racines négatives non nulles.

Je ne suis pas sûr de comprendre. Si le polynôme P est à coefficients dans R+, P-a0 aussi, et donc P-ao est positif sur R+, puis P>=a0>0 sur R+, donc P n'admet pas de racines sur cet intervalle.

[Contrexemple]

Effectivement.

[Contrexemple]

Le Graal de l'analyse ?

Existe-t-il $f\in C([0,1],[0,1])$ tel que $\exists c\in [0,1], \{f^n(c),n\in\mathbb N\}$ est dense dans $[0,1]$ ?

avec $f^2=f \circ f $

[Contrexemple]

L'Irréductible

$ $Soit $P \in \mathbb Z[x]$ unitaire avec $2+\max(|a_i|,i=0...n-1)<b \in\mathbb N$ et $P(b)$ est un entier premier.

A-t-on $P$ est irréductible ?


Le Graal de l'analyse fonctionnelle ?

Existe-t-il $g\in C([0,1],[0,1])=A$ tel que $\{g^n ,n\in\mathbb N\}$ est dense dans $A$ munit de la norme uniforme ?

avec $g^2=g \circ g $

[Contrexemple]

Localisation des racines inédite

Soit $P\in \mathbb C[x] $ unitaire de degré $n$ et de coeff $a_i$, $r$ une racine de $P$.

A-t-on $|r|\leq (\sum \limits_{i=0}^n |a_i|) \times \max(|a_i|^{\frac 1 {n-i}} ; i=0,...,n-1)$?


CNS de l'impossible

$ $Déterminer une CNS sur $x\in\mathbb R_+$ pour que $\{x\times 10^n - k : (n, k) \in \mathbb N^2\}$ soit dense dans $\mathbb R$.

[Contrexemple]

Salut,

$ $Déterminer un équivalent de $$\sum\limits_{p=0}^n\sum\limits_{q=0}^n\dfrac 1 {p+q+1}$$

[loupiot_berthelot]

Le Graal de l'analyse fonctionnelle ?[/i]

Existe-t-il $g\in C([0,1],[0,1])=A$ tel que $\{g^n ,n\in\mathbb N\}$ est dense dans $A$ munit de la norme uniforme ?

avec $g^2=g \circ g $

La réponse est négative.

SPOILER:

Puisque $g : [0,1] -> [0,1]$ est continue, elle a un point fixe $x$. on a alors $g^{n)(x)=x$ pour tout $n$. Ainsi, on ne peut pas approcher uniformément une fonction constante $\neq x$

[Contrexemple]

Quelle est la nature de $\sum\limits_{n\geq 1}\dfrac{\cos(n^{\alpha})}{n}$ avec $\alpha \in [0,1]$ ?


Existe-t-il un $x$ tel que, $\forall a \in \mathbb N^*, \{n^a\times x-k : (n,k)\in\mathbb Z^2 \}$ est dense dans $\mathbb R$ ?