Exercices de MPSI

[rabhix98]

Je reformule ma question (il y'avait une erreur d'énoncé )
Montrer que pour tout n entier supérieur ou égal à trois, il existe une suite d'entiers positifs distincts deux à deux tels que la somme de leur inverses vaut 1.

J'ai l'impression que ce n'est pas encore assez bien reformulé...

Dernière reformulation ( je suis pas habitué au Latex mais je vais faire un effort )
Montrer que:
Pour tout n entier supérieur ou égale à 3, il existe $ ( x_{n} ) $ une suite d'entiers naturels tels que $ \sum_1^n \frac{1}{x_{k}} =1 $
Exemple: pour n=3, on a $ x_{1}=2 $ , $ {x}_2=3 $ et $ x_{3}=6 $ car 1/2 +1/3 +1/6 = 1

[Hunted]

$ (a,b) \in (\mathbb{N^*})^2 , ab+1 | a^2+b^2 $ montrez que $ \frac{a^2+b^2}{ab+1} $ est un carré parfait.

[rabhix98]

Pas sûr mais j'ai ça:
NB, c'est un peu rapide mais compréhensible

SPOILER:

$ \forall (a;b)\in (\mathbb{N^{*}})^{2} $

$ (ab+1)\mid a^{2}+b^{2} \Rightarrow (ab+1)\mid (a+b)^{2} +2 $ 1°
$ (ab+1)\mid a^{2}+b^{2} \Rightarrow (ab+1)\mid (a-b)^{2} -2 $ 2°

1° + 2° $ \Rightarrow (ab+1)\mid ((a+b)^{2} +2)((a-b)^{2}-2) $

Bref La flemme d'écrire le développement, Avec le théorème de Gauss, on montre que $ (ab+1)\mid4 $
D'où a=b=1 ou a=1 et b=3 ou a=3 et b=1
Or (3;1) ne satisfait pas la condition initiale d'où a=b=1
Le quotient vaut alors 1 qui est un carré parfait

[Syl20]

Montrer que:
Pour tout n entier supérieur ou égale à 3, il existe $ ( x_{n} ) $ une suite d'entiers naturels tels que $ \sum_1^n \frac{1}{x_{k}} =1 $
Exemple: pour n=3, on a $ x_{1}=2 $ , $ {x}_2=3 $ et $ x_{3}=6 $ car 1/2 +1/3 +1/6 = 1

SPOILER:

On va démonter par récurrence la propriété suivante : pour tout entier $ n\geq 3 $, il existe une suite $ (x_0,x_1,...,x_n) $ de longueur $ n $ tel que $ \sum_1^n \frac{1}{x_{k}} =1 $
-Initialisation : pour $ n=3 $, on a $ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1 $. La suite $ (2,3,6) $ est donc une suite $ (x_3) $
pour $ n=4 $, on a $ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=1 $. La suite $ (2,4,6,12) $ est donc une suite $ (x_4) $
La propriété est donc vraie pour $ n=3 $ et $ n=4 $
-Hérédité : Supposons qu'il existe deux rangs consécutifs $ n $ et $ n+1 $ tels que $ \sum_1^n \frac{1}{x_{k}} =1 $ et $ \sum_1^{n+1} \frac{1}{x'_{k}} =1 $
Montrons alors qu'on peut trouver une suite de longueur n+2 qui vérifie la propriété
On sait que $ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1 $, d'où $ \frac{1}{2k}+\frac{1}{3k}+\frac{1}{6k}=\frac{1}{k} $
Ainsi, pour la suite $ (x_n) $ classée dans l'ordre croissante, on a $ \frac{1}{x_1}+...+\frac{1}{x_n}=1 \Leftrightarrow \frac{1}{x_1}+...+\frac{1}{2x_n}+\frac{1}{3x_n}+\frac{1}{6x_n}=1 $
On a donc trouvé une suite de longueur $ n+2 $ qui vérifie la propriété.
La propriété est héréditaire.
-Conclusion : La propriété est vraie pour n=3 et n=4, elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout $ n\geq 3 $

[lsjduejd]

Pas sûr mais j'ai ça:

SPOILER:

$ \forall (a;b)\in (\mathbb{N^{*}})^{2} $

$ (ab+1)\mid a^{2}+b^{2} \Rightarrow (ab+1)\mid (a+b)^{2} +2 $ 1°
$ (ab+1)\mid a^{2}+b^{2} \Rightarrow (ab+1)\mid (a-b)^{2} -2 $ 2°

1° + 2° $ \Rightarrow (ab+1)\mid ((a+b)^{2} +2)((a-b)^{2}-2) $

Bref La flemme d'écrire le développement, Avec le théorème de Gauss, on montre que $ (ab+1)\mid4 $
D'où a=b=1 ou a=1 et b=3 ou a=3 et b=1
Or (3;1) ne satisfait pas la condition initiale d'où a=b=1
Le quotient vaut alors 1 qui est un carré parfait

T'es pas sûr parce que t'as pas développé, moi aussi je reste dans le doute

[rabhix98]

Pas sûr mais j'ai ça:

SPOILER:

$ \forall (a;b)\in (\mathbb{N^{*}})^{2} $

$ (ab+1)\mid a^{2}+b^{2} \Rightarrow (ab+1)\mid (a+b)^{2} +2 $ 1°
$ (ab+1)\mid a^{2}+b^{2} \Rightarrow (ab+1)\mid (a-b)^{2} -2 $ 2°

1° + 2° $ \Rightarrow (ab+1)\mid ((a+b)^{2} +2)((a-b)^{2}-2) $

Bref La flemme d'écrire le développement, Avec le théorème de Gauss, on montre que $ (ab+1)\mid4 $
D'où a=b=1 ou a=1 et b=3 ou a=3 et b=1
Or (3;1) ne satisfait pas la condition initiale d'où a=b=1
Le quotient vaut alors 1 qui est un carré parfait

T'es pas sûr parce que t'as pas développé, moi aussi je reste dans le doute

Non, non après vérification le développement est bon

[rabhix98]

Montrer que:
Pour tout n entier supérieur ou égale à 3, il existe $ ( x_{n} ) $ une suite d'entiers naturels tels que $ \sum_1^n \frac{1}{x_{k}} =1 $
Exemple: pour n=3, on a $ x_{1}=2 $ , $ {x}_2=3 $ et $ x_{3}=6 $ car 1/2 +1/3 +1/6 = 1

SPOILER:

On va démonter par récurrence la propriété suivante : pour tout entier $ n\geq 3 $, il existe une suite $ (x_0,x_1,...,x_n) $ de longueur $ n $ tel que $ \sum_1^n \frac{1}{x_{k}} =1 $
-Initialisation : pour $ n=3 $, on a $ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1 $. La suite $ (2,3,6) $ est donc une suite $ (x_3) $
pour $ n=4 $, on a $ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=1 $. La suite $ (2,4,6,12) $ est donc une suite $ (x_4) $
La propriété est donc vraie pour $ n=3 $ et $ n=4 $
-Hérédité : Supposons qu'il existe deux rangs consécutifs $ n $ et $ n+1 $ tels que $ \sum_1^n \frac{1}{x_{k}} =1 $ et $ \sum_1^{n+1} \frac{1}{x'_{k}} =1 $
Montrons alors qu'on peut trouver une suite de longueur n+2 qui vérifie la propriété
On sait que $ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1 $, d'où $ \frac{1}{2k}+\frac{1}{3k}+\frac{1}{6k}=\frac{1}{k} $
Ainsi, pour la suite $ (x_n) $ classée dans l'ordre croissante, on a $ \frac{1}{x_1}+...+\frac{1}{x_n}=1 \Leftrightarrow \frac{1}{x_1}+...+\frac{1}{2x_n}+\frac{1}{3x_n}+\frac{1}{6x_n}=1 $
On a donc trouvé une suite de longueur $ n+2 $ qui vérifie la propriété.
La propriété est héréditaire.
-Conclusion : La propriété est vraie pour n=3 et n=4, elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout $ n\geq 3 $

C'est juste en effet, on a fait la même chose

[Hunted]

Pas sûr mais j'ai ça:
NB, c'est un peu rapide mais compréhensible

SPOILER:

$ \forall (a;b)\in (\mathbb{N^{*}})^{2} $

$ (ab+1)\mid a^{2}+b^{2} \Rightarrow (ab+1)\mid (a+b)^{2} +2 $ 1°
$ (ab+1)\mid a^{2}+b^{2} \Rightarrow (ab+1)\mid (a-b)^{2} -2 $ 2°

1° + 2° $ \Rightarrow (ab+1)\mid ((a+b)^{2} +2)((a-b)^{2}-2) $

Bref La flemme d'écrire le développement, Avec le théorème de Gauss, on montre que $ (ab+1)\mid4 $
D'où a=b=1 ou a=1 et b=3 ou a=3 et b=1
Or (3;1) ne satisfait pas la condition initiale d'où a=b=1
Le quotient vaut alors 1 qui est un carré parfait

Ça me parait curieux comme raisonnement... Tu pars de "pour tout (a,b) entiers positifs" pour conclure que a=b=1... je sais pas mais y'a un truc de bizarre niveau rédactionnel. Après poste ta démo complète pour voir.

[Hunted]

Pas sûr mais j'ai ça:

SPOILER:

$ \forall (a;b)\in (\mathbb{N^{*}})^{2} $

$ (ab+1)\mid a^{2}+b^{2} \Rightarrow (ab+1)\mid (a+b)^{2} +2 $ 1°
$ (ab+1)\mid a^{2}+b^{2} \Rightarrow (ab+1)\mid (a-b)^{2} -2 $ 2°

1° + 2° $ \Rightarrow (ab+1)\mid ((a+b)^{2} +2)((a-b)^{2}-2) $

Bref La flemme d'écrire le développement, Avec le théorème de Gauss, on montre que $ (ab+1)\mid4 $
D'où a=b=1 ou a=1 et b=3 ou a=3 et b=1
Or (3;1) ne satisfait pas la condition initiale d'où a=b=1
Le quotient vaut alors 1 qui est un carré parfait

T'es pas sûr parce que t'as pas développé, moi aussi je reste dans le doute

Non, non après vérification le développement est bon

C'est pas faux mais c'est incomplet, par exemple le couple (5, 125) vérifie aussi la propriété et pourtant (5, 125) différent de (1,1).

[mathophilie]

Ca sent bon l'absurde l'exo d'Hunted ou je rêve ?

M'enfin je trouve pas de contradiction ^^