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guidito a écrit :

rabhix98 a écrit :Je reformule ma question (il y'avait une erreur d'énoncé )
Montrer que pour tout n entier supérieur ou égal à trois, il existe une suite d'entiers positifs distincts deux à deux tels que la somme de leur inverses vaut 1.

J'ai l'impression que ce n'est pas encore assez bien reformulé...

rabhix98 a écrit : Montrer que:
Pour tout n entier supérieur ou égale à 3, il existe $ ( x_{n} ) $ une suite d'entiers naturels tels que $ \sum_1^n \frac{1}{x_{k}} =1 $
Exemple: pour n=3, on a $ x_{1}=2 $ , $ {x}_2=3 $ et $ x_{3}=6 $ car 1/2 +1/3 +1/6 = 1

rabhix98 a écrit :Pas sûr mais j'ai ça:

SPOILER:

$ \forall (a;b)\in (\mathbb{N^{*}})^{2} $

$ (ab+1)\mid a^{2}+b^{2} \Rightarrow (ab+1)\mid (a+b)^{2} +2 $ 1°
$ (ab+1)\mid a^{2}+b^{2} \Rightarrow (ab+1)\mid (a-b)^{2} -2 $ 2°

1° + 2° $ \Rightarrow (ab+1)\mid ((a+b)^{2} +2)((a-b)^{2}-2) $

Bref La flemme d'écrire le développement, Avec le théorème de Gauss, on montre que $ (ab+1)\mid4 $
D'où a=b=1 ou a=1 et b=3 ou a=3 et b=1
Or (3;1) ne satisfait pas la condition initiale d'où a=b=1
Le quotient vaut alors 1 qui est un carré parfait

lsjduejd a écrit :

rabhix98 a écrit :Pas sûr mais j'ai ça:

SPOILER:

$ \forall (a;b)\in (\mathbb{N^{*}})^{2} $

$ (ab+1)\mid a^{2}+b^{2} \Rightarrow (ab+1)\mid (a+b)^{2} +2 $ 1°
$ (ab+1)\mid a^{2}+b^{2} \Rightarrow (ab+1)\mid (a-b)^{2} -2 $ 2°

1° + 2° $ \Rightarrow (ab+1)\mid ((a+b)^{2} +2)((a-b)^{2}-2) $

Bref La flemme d'écrire le développement, Avec le théorème de Gauss, on montre que $ (ab+1)\mid4 $
D'où a=b=1 ou a=1 et b=3 ou a=3 et b=1
Or (3;1) ne satisfait pas la condition initiale d'où a=b=1
Le quotient vaut alors 1 qui est un carré parfait

T'es pas sûr parce que t'as pas développé, moi aussi je reste dans le doute

Syl20 a écrit :

rabhix98 a écrit : Montrer que:
Pour tout n entier supérieur ou égale à 3, il existe $ ( x_{n} ) $ une suite d'entiers naturels tels que $ \sum_1^n \frac{1}{x_{k}} =1 $
Exemple: pour n=3, on a $ x_{1}=2 $ , $ {x}_2=3 $ et $ x_{3}=6 $ car 1/2 +1/3 +1/6 = 1

SPOILER:

On va démonter par récurrence la propriété suivante : pour tout entier $ n\geq 3 $, il existe une suite $ (x_0,x_1,...,x_n) $ de longueur $ n $ tel que $ \sum_1^n \frac{1}{x_{k}} =1 $
-Initialisation : pour $ n=3 $, on a $ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1 $. La suite $ (2,3,6) $ est donc une suite $ (x_3) $
pour $ n=4 $, on a $ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=1 $. La suite $ (2,4,6,12) $ est donc une suite $ (x_4) $
La propriété est donc vraie pour $ n=3 $ et $ n=4 $
-Hérédité : Supposons qu'il existe deux rangs consécutifs $ n $ et $ n+1 $ tels que $ \sum_1^n \frac{1}{x_{k}} =1 $ et $ \sum_1^{n+1} \frac{1}{x'_{k}} =1 $
Montrons alors qu'on peut trouver une suite de longueur n+2 qui vérifie la propriété
On sait que $ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1 $, d'où $ \frac{1}{2k}+\frac{1}{3k}+\frac{1}{6k}=\frac{1}{k} $
Ainsi, pour la suite $ (x_n) $ classée dans l'ordre croissante, on a $ \frac{1}{x_1}+...+\frac{1}{x_n}=1 \Leftrightarrow \frac{1}{x_1}+...+\frac{1}{2x_n}+\frac{1}{3x_n}+\frac{1}{6x_n}=1 $
On a donc trouvé une suite de longueur $ n+2 $ qui vérifie la propriété.
La propriété est héréditaire.
-Conclusion : La propriété est vraie pour n=3 et n=4, elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout $ n\geq 3 $

rabhix98 a écrit :Pas sûr mais j'ai ça:
NB, c'est un peu rapide mais compréhensible

SPOILER:

$ \forall (a;b)\in (\mathbb{N^{*}})^{2} $

$ (ab+1)\mid a^{2}+b^{2} \Rightarrow (ab+1)\mid (a+b)^{2} +2 $ 1°
$ (ab+1)\mid a^{2}+b^{2} \Rightarrow (ab+1)\mid (a-b)^{2} -2 $ 2°

1° + 2° $ \Rightarrow (ab+1)\mid ((a+b)^{2} +2)((a-b)^{2}-2) $

Bref La flemme d'écrire le développement, Avec le théorème de Gauss, on montre que $ (ab+1)\mid4 $
D'où a=b=1 ou a=1 et b=3 ou a=3 et b=1
Or (3;1) ne satisfait pas la condition initiale d'où a=b=1
Le quotient vaut alors 1 qui est un carré parfait

rabhix98 a écrit :

lsjduejd a écrit :

rabhix98 a écrit :Pas sûr mais j'ai ça:

SPOILER:

$ \forall (a;b)\in (\mathbb{N^{*}})^{2} $

$ (ab+1)\mid a^{2}+b^{2} \Rightarrow (ab+1)\mid (a+b)^{2} +2 $ 1°
$ (ab+1)\mid a^{2}+b^{2} \Rightarrow (ab+1)\mid (a-b)^{2} -2 $ 2°

1° + 2° $ \Rightarrow (ab+1)\mid ((a+b)^{2} +2)((a-b)^{2}-2) $

Bref La flemme d'écrire le développement, Avec le théorème de Gauss, on montre que $ (ab+1)\mid4 $
D'où a=b=1 ou a=1 et b=3 ou a=3 et b=1
Or (3;1) ne satisfait pas la condition initiale d'où a=b=1
Le quotient vaut alors 1 qui est un carré parfait

T'es pas sûr parce que t'as pas développé, moi aussi je reste dans le doute

Non, non après vérification le développement est bon