Exercices de MPSI

[bullquies]

si tu t'intéresses pas à ça et que t'as la flemme d'ouvrir wikipedia, ce topic est pas fait pour toi.

[Magnéthorax]

youyou7

La résolution de cet exercice n'utilise pas de notion HP.

Bien sûr que si puisque l'énoncé en contient une. Renseignez-vous avant d'affirmer des choses fausses avec autant d'aplomb. Et si vous avez la paresse de le faire, constatez avec moi que celles et ceux qui s'intéressent à votre question ne sont sans doute pas les plus ignorants de leur classe et qu'ils ne connaissent pourtant pas la notion (cf. l'écriture $ f(f^{-1}) $ et la confusion avec $ 1/f $).

mathophilie

Reciproque c'est par exemple fonction carrée et racine carrée ?

youyou7

Tout à fait

Cette notion n'est pas du tout enseignée au lycée et on constate souvent en première année de prépa que le moment de leur première rencontre ne correspond pas nécessairement avec le moment de leur maîtrise : ainsi, la fonction racine carré n'est pas la réciproque de la fonction carré.

[mathophilie]

ainsi, la fonction racine carré n'est pas la réciproque de la fonction carré.

Ahhh... Je crois comprendre : la fonction racine carré est la réciproque de la fonction carrée sur R+, au sens ou elle met en jeu sur R- la valeur absolue...


Pour ce qui est des exercices HP ou non, youyou7 a probablement tort de dire que cela ne nécessite aucune notion HP puisque comme vous l'avez fait remarqué j'ai confondu inverse et réciproque. Pourtant, on ne peut pas reprocher aux taupins de proposer des exos qui dépassent un peu le programme dans ce topic, puisque les Term qui sont ici recherchent en général des maths plus complexes et amusantes que le "programme sur ta calculatrice et trouve la valeur approchée" de Term (bien sûr, il n'y a pas que cela en Term, c'est une caricature)...

Il ne faut quand même pas abuser niveau difficulté, mais tant que c'est "accessible" avec des coups de pouces et que c'est stimulant, moi, ca me va.

[rabhix98]

Il ne faut quand même pas abuser niveau difficulté, mais tant que c'est "accessible" avec des coups de pouces et que c'est stimulant, moi, ca me va.

Un petit indice alors ?

[SigmaPi]

ainsi, la fonction racine carré n'est pas la réciproque de la fonction carré.

Ahhh... Je crois comprendre : la fonction racine carré est la réciproque de la fonction carrée sur R+, au sens ou elle met en jeu sur R- la valeur absolue...


Pour ce qui est des exercices HP ou non, youyou7 a probablement tort de dire que cela ne nécessite aucune notion HP puisque comme vous l'avez fait remarqué j'ai confondu inverse et réciproque. Pourtant, on ne peut pas reprocher aux taupins de proposer des exos qui dépassent un peu le programme dans ce topic, puisque les Term qui sont ici recherchent en général des maths plus complexes et amusantes que le "programme sur ta calculatrice et trouve la valeur approchée" de Term (bien sûr, il n'y a pas que cela en Term, c'est une caricature)...

Il ne faut quand même pas abuser niveau difficulté, mais tant que c'est "accessible" avec des coups de pouces et que c'est stimulant, moi, ca me va.

Il y'avait déjà eu ce débat une fois si je ne m'abuse sur un autre topic, Magnéthorax arguant avec véhémence que HP = HP = mal.
(Sauf si je me trompe, auquel cas je m'en excuse).
Je suis d'accord avec lui (même si les bijections et les réciproques, c'est pas HP de par chez nous )

[Magnéthorax]

Ce n'est pas un jugement moral.

[Magnéthorax]

Bonsoir,

soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite de réels. On suppose que les deux suites $ (u_{2n})_{n\in\mathbb{N}} $ et $ (u_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}} $ convergent vers le même réel $ \ell $. Démontrez que $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge vers $ \ell $.

[rabhix98]

Bonsoir,

soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite de réels. On suppose que les deux suites $ (u_{2n})_{n\in\mathbb{N}} $ et $ (u_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}} $ convergent vers le même réel $ \ell $. Démontrez que $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge vers $ \ell $.

SPOILER:

Intuitivement, c'est évident.
Sinon, on dit que tout entier n s'écrit n=2k ou n=2k+2, k entier
Après on revient à la définition de la convergence:
pour $ (u_{2n})_{n\in\mathbb{N}} $, pour a>0, il existe p tq n>p => abs($ (u_{2n})-l $)<a
pour $ (u_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}} $, pour a>0, il existe q tq n>q => abs($ (u_{2n+1})-l $)<a
Soit t=max( p ; q )... , on retrouve la définition de la convergence de u.

[youyou7]

Une petite indication

SPOILER:

On pourra chercher $ (a,b)\in \mathbb{R}^{2} $ tq $ \forall x>0, f(x)=ax^{b} $

[Oka]

Soit $ f : \mathbb N \rightarrow \mathbb N $ une application qui verifie la propriété $ (\forall n \in \mathbb N) $ $ f(n+1) > f(f(n)) $ . Montrer que $ (\forall n \in \mathbb N) $ $ f(n)=n $.

Mon frère en prépa m'a posé cet exercice, voici ce que j'ai répondu (après plusieurs jours de recherche je l'admet...) : Qu'en pensez-vous ?

SPOILER:

Soit $ \alpha_n = f(\alpha_{n-1}-1) $ avec $ \alpha_0 = f(0) $

alors $ f(\alpha_n) =f(f(\alpha_{n-1}-1)) < f(\alpha_{n-1}) $
Ah oui mais les $ f(\alpha_{n}) $ sont strictement décroissants donc ça pose un petit souci, c'est donc qu'à un moment la relation de récurrence ne marche plus, donc que $ \alpha_n = 0 $.
Mais maintenant si on prend un entier $ p $ quelconque tel que $ f(p)=0 $ alors $ f(f(p-1)) < f(p) = 0 $ ce qui pose encore un problème. Donc si $ f(p) = 0 $, alors $ p=0 $.
Plus encore, quand on regarde $ f(0) = f(\alpha_n) < f(\alpha{n-1}) < ... < f(\alpha_0) = f(0) $ ce qui pose encore un problème donc la suite $ \alpha_n $ n'est même pas licite à partir de $ n=1 $
Donc $ f(0) = 0 $ et $ \forall n > 0, f(n) > 0 $.
J'ai conclu en disant que le même raisonnement s'appliquait sans mal pour montrer que $ f(1) = 1 $ puis ..... $ f(n) = n $

bien joué Nope ton raisonnement est bon mais ta redaction est un peu bizarre : tu fais un truc faux et ensuite tu dis que il y a un "souci" donc on doit remonter le raisonnement pour voir ce qui marche pas, annonce plutot ton implication dès le debut (ou quand tu veux mais annonce la) et ensuite quand tu arrive à une contradiction tu en déduis que la premisse est fausse

pour info c'est un exo 6 d'IMO de 1977