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La résolution de cet exercice n'utilise pas de notion HP.

Reciproque c'est par exemple fonction carrée et racine carrée ?

Tout à fait

ainsi, la fonction racine carré n'est pas la réciproque de la fonction carré.

mathophilie a écrit : Il ne faut quand même pas abuser niveau difficulté, mais tant que c'est "accessible" avec des coups de pouces et que c'est stimulant, moi, ca me va.

mathophilie a écrit :

ainsi, la fonction racine carré n'est pas la réciproque de la fonction carré.

Ahhh... Je crois comprendre : la fonction racine carré est la réciproque de la fonction carrée sur R+, au sens ou elle met en jeu sur R- la valeur absolue...


Pour ce qui est des exercices HP ou non, youyou7 a probablement tort de dire que cela ne nécessite aucune notion HP puisque comme vous l'avez fait remarqué j'ai confondu inverse et réciproque. Pourtant, on ne peut pas reprocher aux taupins de proposer des exos qui dépassent un peu le programme dans ce topic, puisque les Term qui sont ici recherchent en général des maths plus complexes et amusantes que le "programme sur ta calculatrice et trouve la valeur approchée" de Term (bien sûr, il n'y a pas que cela en Term, c'est une caricature)...

Il ne faut quand même pas abuser niveau difficulté, mais tant que c'est "accessible" avec des coups de pouces et que c'est stimulant, moi, ca me va.

Magnéthorax a écrit :Bonsoir,

soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite de réels. On suppose que les deux suites $ (u_{2n})_{n\in\mathbb{N}} $ et $ (u_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}} $ convergent vers le même réel $ \ell $. Démontrez que $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge vers $ \ell $.

Nope a écrit :

mathophilie a écrit :

Oka a écrit :Soit $ f : \mathbb N \rightarrow \mathbb N $ une application qui verifie la propriété $ (\forall n \in \mathbb N) $ $ f(n+1) > f(f(n)) $ . Montrer que $ (\forall n \in \mathbb N) $ $ f(n)=n $.

Mon frère en prépa m'a posé cet exercice, voici ce que j'ai répondu (après plusieurs jours de recherche je l'admet...) : Qu'en pensez-vous ?

SPOILER:

Soit $ \alpha_n = f(\alpha_{n-1}-1) $ avec $ \alpha_0 = f(0) $

alors $ f(\alpha_n) =f(f(\alpha_{n-1}-1)) < f(\alpha_{n-1}) $
Ah oui mais les $ f(\alpha_{n}) $ sont strictement décroissants donc ça pose un petit souci, c'est donc qu'à un moment la relation de récurrence ne marche plus, donc que $ \alpha_n = 0 $.
Mais maintenant si on prend un entier $ p $ quelconque tel que $ f(p)=0 $ alors $ f(f(p-1)) < f(p) = 0 $ ce qui pose encore un problème. Donc si $ f(p) = 0 $, alors $ p=0 $.
Plus encore, quand on regarde $ f(0) = f(\alpha_n) < f(\alpha{n-1}) < ... < f(\alpha_0) = f(0) $ ce qui pose encore un problème donc la suite $ \alpha_n $ n'est même pas licite à partir de $ n=1 $
Donc $ f(0) = 0 $ et $ \forall n > 0, f(n) > 0 $.
J'ai conclu en disant que le même raisonnement s'appliquait sans mal pour montrer que $ f(1) = 1 $ puis ..... $ f(n) = n $