Exercices de MPSI

[wallissen]

Wow c'est vrai que ça passe rapidement avec les accroissements finis

Mais faut y penser aussi...On l'a vu en cours, mais je n'ai toujours pas rencontré une situation où il me semblait nécessaire de l'utiliser

Rolle est bien plus important. La méthode de démonstration des accroissements finie est importante (parce qu'elle utilise Rolle) et le théorème/son inégalité associée sont utiles pour établir des résultats d'analyse (genre f' > 0 => f croissante).

Fun fact : le théorème des accroissements finis ne marche qu'en dimension 1, contrairement à l'inégalité des accroissements finis qui se généralise aux dimensions supérieures.

On n'a pas vu "officiellement" Rolle en cours, ( Le prof en a parlé un peu mais il a dit que c'est hors programme) et on a admis le théorème des accroissements finis.

Mais je me souviens en effet d'une démonstration via le théorème de Rolle sur cette épreuve de CG que le prof nous avez demandé de faire l'année dernière.

[wallissen]

Mais je me souviens en effet d'une démonstration via le théorème de Rolle sur cette épreuve de CG que le prof nous avez demandé de faire l'année dernière.

Beurk, une épreuve de maths rédigée sur word...

Latex , ils viennent de savoir ce que c'est hein et les flemmards ne veulent même pas prendre le temps de retaper les anciennes épreuves.

En tout cas celle de mon année de première est beaucoup plus lisible

Sinon l'épreuve de 2005 je trouve que c'est intéressant finalement.. Je n'avais aucune idée de ce qu'était une fonction convexe en l'abordant.
J'ai pu faire la partie Rolle , accroissement finis etc.. Mais c'est la première question de la partie III (la double inégalité ) qui m'avait découragé je crois, et j'ai laissé tombé.

[bullquies]

superfunfact:
le gestionnaire d'équations de word des dernières versions est bien meilleur, et supporte pas mal de commandes latex

[mathophilie]

Sinon je pensais à l'argument géométrique du fait que H_n -0.5 tend à décrire l'aire sous la courbe f(x) = 1/x entre x=1 et x=n, donc qu'à l'infini H_n-1/2 s'approche de ln(n). La limite doit être un peu supérieure à 0.5.

Hum... Oui c'est vrai mais comment trouves-tu ce 0.5 ?

Déso, je m'étais éclipsée pour un petit truc.

En fait, Hn décrit la somme de l'aire des rectangles de largeur 1 et de hauteur f(1/n).

Quand je dessines ca sur un brouillon, j'ai un carré de 1*1 entre x=0 et x=1 puis un rectangle de 1*1/2 entre x=1 et x=2, puis un rectangle de...

Le carré de 1*1 me sert à rien pour approximer l'aire sous Cf entre x=1 et et x=n. Mais si je le divise en 2 et que je colle une de ces parties au-dessus du rectangle suivant de 1*1/2 (pour donner donc un carré de 1*1 entre x=1 et x=2), ben ca approche tout de suite beaucoup plus précisément l'aire sous la courbe (le rectangle ayant alors un petit bout au-dessus de la courbe, et tous les autres rectangles étant vraiment sous la courbe).

Je sais pas si je suis claire, un dessin est nécessaire je pense

[Magnéthorax]

Fun fact : le théorème de Rolle n'est pas un résultat trivial. Car...

^^ C'est vrai qu'il faut avoir démontré Bolzano Weierstrass et le fait que toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes (et éventuellement la caractérisation séquentielle de la limite si on veut être rigoureux) mais bon c'est pas non plus archi-dur.

Ouais, trois fois rien pour des term qui ont du mal à manipuler la définition de suite convergente (ce qui n'est pas non plus aberrant).

Nan mais lol, quoi.

Les propriétés topologiques de $ \mathbb{R} $, c'est pas du trivial pour un débutant, voire un confirmé : leur présentation est directement liée au choix de la construction de cet ensemble. Or une telle construction, quoi qu'elle soit, est admise en MPSI. On est donc loin de la trivialité. Penser que ce qui a été seulement éclairci au 19ème siècle est trivial, c'est une illusion rétrospective de kikoulol.

[Magnéthorax]

C'est pas grave du tout. Lancer des trucs à la volée et affiner ensuite sa réflexion quitte à contredire sa première idée, ça peut se révéler très utile pour prendre du recul et prendre conscience de certains phénomènes passés au début sous l'écran radar.

L'idée c'est de ne pas s'arrêter en si bon chemin et de poursuivre jusqu'à ce qu'on puisse se dire : "Ok, je vois que ça provient de ça et je peux me contenter (temporairement ou pas) de ce point de départ que je prends quasiment comme axiome. Si le besoin s'en fait sentir, si ça m'intéresse, si j'en ai la possibilité, je remonterai plus tard la chaîne des causes d'un cran."

Je dis ça en toute modestie et il ne viendrait pas à l'idée de qualifier d'immature (sauf sur le ton humoristique) quelqu'un qui passerait à côté de quelque-chose que j'ai moi-même mis du temps à conscientiser.

[mathophilie]

Bonsoir,

voici un exo sur les suites qui provient d'un problème de probabilité. Le programme actuel suffit.

Soient $ p,q $ deux réels dans $ ]0,1[ $ tels que $ p+q=1 $ et $ p>q $. Déterminez toutes les suites $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ qui vérifient :

1. $ u_0=pu_1 $
2. Pour tout entier naturel non nul $ n $, $ u_n = pu_{n+1}+qu_{n-1} $
3. $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge vers $ 1 $.

Indication :

SPOILER:

Pour tout entier naturel $ n $, on a $ u_n=1\times u_n $

Je tente...

SPOILER:

$ p+q = 1 $
D'où $ u_n = pu_n+ qu_n $
D'où $ pu_{n+1}+qu_{n-1} = pu_n + qu_n $
Donc $ p(u_{n+1}-u_n) = q(u_n-u_{n-1}) $
D'où $ u_{n+1} - u_n = \frac{q}{p}(u_n - u_{n-1}) $ (car p et q non nuls)

On pose $ w_n = u_{n+1}-u_n $

Ainsi $ w_n $ est une suite géométrique de raison $ \frac{q}{p} $.

De plus, pour tout n de N, $ \sum_{k=0}^{n-1}w_k = u_n - u_0 $

D'où $ (u_1-u_0)*\frac{1-(\frac{q}{p})^n}{1-\frac{q}{p}} = u_n - u_0 $

Ainsi $ u_n = \frac{u_1-u_1(\frac{q}{p})^n - qu_1 + qu_1(\frac{q}{p})^n+ qu_1 - u_1\frac{q^2}{p}}{1-\frac{q}{p}} $

Soit en simplifiant et factorisant par u1 : $ u_n = u_1*\frac{1-p(\frac{q}{p})^n-\frac{q^2}{p}}{1-\frac{q}{p}} $

De plus, $ u_n $ converge vers 1.

Donc $ u_1 * \frac{1-\frac{q^2}{p}}{1-\frac{q}{p}} = 1 $

Donc, $ u_1 = \frac{1-\frac{q}{p}}{1-\frac{q^2}{p}} $

D'où $ u_n = 1 - \frac{p(\frac{q}{p})^n}{1-\frac{q^2}{p}} $

[Magnéthorax]

mathophilie :

SPOILER:

Les idées sont là, bravo. La rédaction est perfectible. Vous devez trouver $ u_n=1-(q/p)^{n+1} $ pour tout entier naturel $ n $. Vous avez gagné l'énoncé de proba dont ce petit exercice provient. Livraison prochaine.

[mathophilie]

D'accord, merci.
Mon expression finale de un est pas très élégante...
Dans l'attente de la livraison prochaine

[Magnéthorax]

Bonsoir,

on se place dans un plan muni d'un repère orthonormé dans lequel $ A $ est le point de coordonnées $ (-1,0) $ et $ B $ celui de coordonnées $ (1,0) $. On se donne un réel $ x>1 $. Montrer qu'il existe un réel $ y>0 $ tel que, si on note $ M $ le point de coordonnées $ (x,y) $, l'angle $ (\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}) $ soit maximal et vérifier qu'on a alors l'égalité $ x^2-y^2=1 $ pour en déduire un procédé de construction du point-solution $ M $.