Exercices de MPSI

[Galoubet]

Résoudre dans $ \mathbb Z $ l'équation : $ x^4+x^3+x^2+x+1=y^2 $.

[Tornado]

Des exos en vrac :

Montrer que pour tout $ n > 1 $,
$ H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} $ n'est pas un entier.

Indice :

SPOILER:

Calculer les premières valeurs, puis faire une récurrence judicieusement choisie (sur les propriétés du numérateur et du dénominateur de la somme

Montrer que :
$ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt {2 + .... + \sqrt{2}}}} = 2 cos( \frac{\pi}{2^{n+1}) $

Du dénombrement difficile ! (j'insiste !)
Déterminer le nombre de p-uplets d'entiers naturels solutions de l'équation
$ a_1 + a_2 + ... + a_p = N $ où $ N $ est un entier naturel donné.

Deux options : la récurrence, où le dénombrement. Je vous donnerai une astuce rigolote si vous voulez.

[Tornado]

Ah merci, c'est gentil
Mmmh ça me fait penser que j'en ai un qui utilise Cauchy Schwarz et ça pourrait être pas mal que vous voyiez des applications de cette inégalités, mais après il est vraiment dur pour des terminales ... Je le mets quand même car on en a des puissants cette année

Montrer que la quantité $ x + 2y + 3z $ prend une valeur maximale lorsque $ x, y, z $ décrivent l'ensemble $ S = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3, x^2 + y^2 + z^2 = 1 \} $ et préciser en quels points cette valeur est atteinte.

Indice : on pensera à Cauchy Schwarz.

[mathophilie]

Montrer que pour tout n > 1,
$ H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} $ n'est pas un entier.

Indice :
Spoiler : Afficher

Une proposition par l'absurde :

SPOILER:

Soit $ H_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} $ avec $ n\ge2 $

Ainsi $ H_n - 1 = \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k} $

Soit en multipliant par $ n ! $, $ (H_n - 1)n! = \sum_{k=2}^{n}\frac{n!}{k} $

On suppose $ H_n $ entier, d'où $ H_n - 1 $ entier.

Soit p le plus grand nombre premier tel que $ 2\le p \le n $

p divise n!, d'où p divise $ (H_n -1)n! $ donc $ \frac{(H_n -1)n!}{p} $ entier.

De plus p divise tous les termes de $ \sum_{k=2}^{n}\frac{n!}{k} $ (du fait de la factorielle), SAUF $ \frac{n!}{p} $ (car p a déjà "simplifié" p dans la factorielle, et p est le plus grand nb premier inférieur à n).
Donc p ne divise pas $ \sum_{k=2}^{n}\frac{n!}{k} $
D'où $ \frac{\sum_{k=2}^{n}\frac{n!}{k}}{p} $ non entier.
--> Contradiction

Donc $ H_n $ n'est pas un entier pour $ n\ge2 $

Je crois que par récurrence, tu veux passer par

SPOILER:

Le fait que le numérateur est toujours un impair, et le dénominateur toujours un pair

[mathophilie]

J'avais posté un exo ça n'a intéressé personne à ce que je vois :

Soit $ f $ une fonction continue et croissante, $ g $ une fonction continue et décroissante sur le même intervalle $ [0,a] $ tel que on ait $ \int_{0}^{a}(f(t)-g(t)) dt=0 $.
Montrer que pour tout $ (x,y)\in [0,a]^2 $ : $ x\int_{0}^{y} g(t) dt \geq y\int_{0}^{x} f(t) dt $

Quand tu l'as posté j'avais pas fini de voir les intégrales donc je maîtrisais pas.
Je cherche par l'absurde... J'attends que ca débouche... Faut croire que les intégrales, je maîtrise toujours pas.

[Galoubet]

Plus généralement, une somme d'inverses d'entiers positifs consécutifs n'est jamais un entier, ce n'est pas plus dur.

[mathophilie]

Plus généralement, une somme d'inverses d'entiers positifs consécutifs n'est jamais un entier, ce n'est pas plus dur.

Dans ce cas, pareillement, je serais passer par l'absurde et la primalité (ca se dit ? )

Ah bah lsjduejd ! (je te vois connecté en bas) Le coup de la factorielle n!, ca te rappelle pas la démo par l'absurde de l'irrationalité de e ? Tu m'avais aidé sur ce coup, je m'en souviens

[lsjduejd]

SPOILER:

De plus p divise tous les termes de $ \sum_{k=2}^{n}\frac{n!}{k} $ (du fait de la factorielle), SAUF $ \frac{n!}{p} $ (car p a déjà "simplifié" p dans la factorielle, et p est le plus grand nb premier inférieur à n).
Donc p ne divise pas $ \sum_{k=2}^{n}\frac{n!}{k} $

SPOILER:

Pourquoi aurait-on $ p\leq n < 2p $ ?

[mathophilie]

SPOILER:

De plus p divise tous les termes de $ \sum_{k=2}^{n}\frac{n!}{k} $ (du fait de la factorielle), SAUF $ \frac{n!}{p} $ (car p a déjà "simplifié" p dans la factorielle, et p est le plus grand nb premier inférieur à n).
Donc p ne divise pas $ \sum_{k=2}^{n}\frac{n!}{k} $

SPOILER:

Pourquoi aurait-on $ p\leq n < 2p $ ?

Ah ouais, j'y avais pas pensé... C'est faux ou ça se démo ?
Je cherche.

[lsjduejd]

Nan c'est vrai mais c'est plus dur à démontrer que l'exercice


Tu peux le déduire de ça :

SPOILER:

https://fr.wikipedia.org/wiki/Postulat_de_Bertrand