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Montrer que pour tout $ n > 1 $,
$ H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} $ n'est pas un entier.

Indice :

SPOILER:

Calculer les premières valeurs, puis faire une récurrence judicieusement choisie (sur les propriétés du numérateur et du dénominateur de la somme

Montrer que :
$ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt {2 + .... + \sqrt{2}}}} = 2 cos( \frac{\pi}{2^{n+1}) $

Du dénombrement difficile ! (j'insiste !)
Déterminer le nombre de p-uplets d'entiers naturels solutions de l'équation
$ a_1 + a_2 + ... + a_p = N $ où $ N $ est un entier naturel donné.

Deux options : la récurrence, où le dénombrement. Je vous donnerai une astuce rigolote si vous voulez.

Montrer que la quantité $ x + 2y + 3z $ prend une valeur maximale lorsque $ x, y, z $ décrivent l'ensemble $ S = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3, x^2 + y^2 + z^2 = 1 \} $ et préciser en quels points cette valeur est atteinte.

Indice : on pensera à Cauchy Schwarz.

Montrer que pour tout n > 1,
$ H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} $ n'est pas un entier.

Indice :
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ladmzjkf a écrit :J'avais posté un exo ça n'a intéressé personne à ce que je vois :

Soit $ f $ une fonction continue et croissante, $ g $ une fonction continue et décroissante sur le même intervalle $ [0,a] $ tel que on ait $ \int_{0}^{a}(f(t)-g(t)) dt=0 $.
Montrer que pour tout $ (x,y)\in [0,a]^2 $ : $ x\int_{0}^{y} g(t) dt \geq y\int_{0}^{x} f(t) dt $

Galoubet a écrit :Plus généralement, une somme d'inverses d'entiers positifs consécutifs n'est jamais un entier, ce n'est pas plus dur.

mathophilie a écrit :

SPOILER:

De plus p divise tous les termes de $ \sum_{k=2}^{n}\frac{n!}{k} $ (du fait de la factorielle), SAUF $ \frac{n!}{p} $ (car p a déjà "simplifié" p dans la factorielle, et p est le plus grand nb premier inférieur à n).
Donc p ne divise pas $ \sum_{k=2}^{n}\frac{n!}{k} $

lsjduejd a écrit :

mathophilie a écrit :

SPOILER:

De plus p divise tous les termes de $ \sum_{k=2}^{n}\frac{n!}{k} $ (du fait de la factorielle), SAUF $ \frac{n!}{p} $ (car p a déjà "simplifié" p dans la factorielle, et p est le plus grand nb premier inférieur à n).
Donc p ne divise pas $ \sum_{k=2}^{n}\frac{n!}{k} $

SPOILER:

Pourquoi aurait-on $ p\leq n < 2p $ ?