Exercices de MPSI

[darklol]

Il n'est même pas question de rédaction light ou pas, jusqu'ici je n'avais pas encore vu de véritable argument de ta part qui me prouve que f admet bien un maximum ou un minimum sur ]a,b[.

L'argument clé (mais qui est de toutes façons HP pour un terminale) est: f est continue sur [a,b] (segment fermé, très important) donc admet un maximum atteint en c appartenant à [a,b], disons que f(x) >= 0 (elle est de signe constant comme tu l'as fait remarquer) donc ce point c est nécessairement dans ]a,b[ car sinon, le maximum serait f(a) ou f(b) qui sont tous deux nuls et f serait alors la fonction nulle sur [a,b] ce qui est faux.

Bon ensuite maintenant le fait que si f atteint un maximum en c appartenant au segment ouvert ]a,b[ et que f est dérivable, alors f'(c) = 0 est encore plus HP.

Tu ferais mieux de suivre les indications initiales de l'énoncé, sinon ça n'a pas d'intérêt à être dans "exercices de pré-rentrée MPSI".

[wallissen]

Je vais le refaire avec tes indications
Pour ce qui est du HP (une fonction continue sur [a,b] admet des extremums et si le point d'abscisse x est un extremum, f'(x)=0), ça me paraît quand même suffisamment logique pour être utilisé.

Oui mais comme le fait remarquer JustSayin' , rien ne dit que le maximum est atteint sur ]a,b[ ( à moins de le démontrer )
En suivant les indications , t'as pas besoin de ce théorème de toute façon ...( je peux donner d'autres indications si tu veux )

[mathophilie]

mathophilie : ça m'a l'air très bien, bravo. Tu aurais sans doute pu commencer ta récurrence au rang 1 plutôt que 2.

Si tu veux, une autre preuve de ce même résultat : http://forum.prepas.org/viewtopic.php?p=648216#p648216

Merci pour le lien, je n'ai regardé que l'énoncé, je vais voir ça plus précisément

mathophilie: Nickel! Quelques points de rédaction à peaufiner mais tout est là. Par exemple, tu n'as pas réellement besoin de ta récurrence descendante, tu peux directement te fixer un $ n $ quelconque et considérer un $ i $ tel que $ n \leq 2^i $, et te servir de $ P_{2^i} $ pour montrer $ P_n $ de la même façon que tu as montré $ P_{n+1} \Rightarrow P_n $. Et comme te l'a fait remarquer symetrie, tu n'as pas besoin de montrer $ P_2 \Rightarrow P_4 $, seulement $ P_2 $ vu que tu montres ensuite que $ P_n \Rightarrow P_{2n} $ pour tout $ n $.

Merci. Ouais pour la récurrence je suis trop bête... Le pire c'est que j'ai utilisé $ P_1 $ dans la deuxième récurrence... Y'a des moments ou je me comprends pas trop Est-ce que tu pourrais m'indiquer rapidement les points de rédac qui sont à peaufiner s'il te plaît ? Mon prof de maths m'a dit j'avais l'idée mais qu'il fallait pour le niveau prépa que la rédac soit plus rigoureuse. Donc je veux bien faire des efforts dès maintenant Soit je justifie presque rien parce que j'ai l'impression qu'on en a pas besoin, soit je justifie trop longuement parce que je sais pas quoi justifier

[darklol]

J'ai trouvé que tout était bien justifié, quand je parlais des points de rédaction je ne voulais pas forcément parler d'un manque de rigueur mais plutôt du fait qu'il existait une rédaction un peu plus courte et directe (ie supprimer la récurrence descendante) et puis de ta petite confusion logique avec $ P_2 \Rightarrow P_4 $ qui n'est ici pas utile.

Ah et un détail, il y a une typo dans ta preuve de $ P_n \Rightarrow P_{2n} $, je crois qu'un n au dénominateur s'est transformé en 2.

[mathophilie]

Pour la question 2 de l'exo de wallissen, j'ai vite regardé donc bon je sais pas hein, mais il me semble que :

SPOILER:

Comme g(a) et g(b) sont de même signe, et (x-a)(x-b) est négatif sur [a;b], on a f de signe constant sur [a;b]. De plus a et b racines de f d'où f(a)=0 et f(b)=0. On en déduit donc que f n'est pas monotone sur [a:b], et comme f continue, on a f'(x) qui change de signe sur ]a;b[. De plus comme f' continue aussi sur cet intervalle, d'après le TVI, il existe un c de ]a;b[ tel que f'(c) = 0.

Probablement du gros YOLO niveau rédaction...

[mathophilie]

J'ai trouvé que tout était bien justifié, quand je parlais des points de rédaction je ne voulais pas forcément parler d'un manque de rigueur mais plutôt du fait qu'il existait une rédaction un peu plus courte et directe (ie supprimer la récurrence descendante) et puis de ta petite confusion logique avec $ P_2 \Rightarrow P_4 $ qui n'est ici pas utile.

Ah et un détail, il y a une typo dans ta preuve de $ P_n \Rightarrow P_{2n} $, je crois qu'un n au dénominateur s'est transformé en 2.

Ok merci
Ah ouais mince, thanks, j'ai du copié collé la formule latex de la preuve que Q2 vraie --> Q4 vraie...

[mathophilie]

Par curiosité, c'est quand le CG maths ? Si y'en a qui le font, ils pourraient scanner le sujet et le mettre sur le forum le soir s'il vous plaît ?
Merci.

[Syl20]

Par curiosité, c'est quand le CG maths ? Si y'en a qui le font, ils pourraient scanner le sujet et le mettre sur le forum le soir s'il vous plaît ?
Merci.

Mardi. Tu le fais pas ? Si tu veux je peux les scanner !

Bon, sinon, je voudrais juste vous signaler que dire qu'une fonction continue sur [a,b] admet un minimum et un maximum n'est pas HP puisqu'on s'en sert pour faire l'inégalité de la moyenne avec les intégrales.

[mathophilie]

Par curiosité, c'est quand le CG maths ? Si y'en a qui le font, ils pourraient scanner le sujet et le mettre sur le forum le soir s'il vous plaît ?
Merci.

Mardi. Tu le fais pas ? Si tu veux je peux les scanner !

Bon, sinon, je voudrais juste vous signaler que dire qu'une fonction continue sur [a,b] admet un minimum et un maximum n'est pas HP puisqu'on s'en sert pour faire l'inégalité de la moyenne avec les intégrales.

Ouais je veux bien s'il te plaît Nan, je le fais pas, mes profs de maths présentent personne au CG (du moins personne dans les 6 dernières années). Ils considèrent que c'est mort d'avance comparé aux gens qui sont inscrit à Animaths par exemple ou aux gens qui ont fait du HP dans leur lycée.
On nous présente juste aux Olympiades de première.

Du coup, je passe la philo... (nan en vrai j'aime bien la philo c'est cool )

[Syl20]

Du coup, voilà pour l'exercice de Wallisen :

SPOILER:

1. a et b sont deux racines consécutives du polynôme. On a donc $ \forall x\in [a,b], f(x) $ de signe constant car la fonction est continue. g(x) est également continue
Supposons que g(a) et g(b) ne sont pas du même signe (et ils sont non nuls dans tous les cas). Il existerait alors un $ c\in ]a,b[ $ tel que g(c)=0 (TVI). Or, c'est imposssible car c serait alors une racine du polynôme, et a et b ne seraient pas des racines consécutives. Donc g(a) et g(b) de même signe
2.En dérivant f, on trouve : $ f'(a)=(a-b)g(a) $ et $ f'b)=(b-a)g(b) $
or, $ a\neq b $, donc a-b et b-a sont de signe différents. De plus, g(a) et g(b) sont de même signe (1.), donc f'(a) et f'(b) sont de signes différents (et non nuls car produits de facteurs non nuls). Donc, d'après le TVI, il existe au moins un x de ]a,b[ tel que f'(x)=0

La 3. arrive