Parmi les phrases suivantes, lesquelles sont équivalentes ?
1. S'il pleut ou s'il neige, le match de foot est annulée.
2. Si le match de foot est annulé, alors il pleut ou il neige.
3. S'il pleut alors le match de foot est annulé, et s'il neige alors le match de foot est annulé.
4. S'il ne neige pas ni ne pleut, alors le match de foot n’est pas annulé.
5. Si le match de foot n’est pas annulé, alors il ne neige pas ni ne pleut.
Exercices de MPSI
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Hum !!
C'est du second degré ? du troll ? (surtout au vu du pseudo tout en majuscule )
C'est du second degré ? du troll ? (surtout au vu du pseudo tout en majuscule )
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Bon, c'était certes très basique , mais ça n'en fait pas moins de la logique et donc des maths 
.
Je propose celui ci
. Je propose celui ci
Traduire les assertions suivantes dans le langage mathématique (avec quantificateurs) et les démontrer :
a)L’ensemble des entiers impairs n’a pas de maximum.
b)La fonction f de ℝ dans ℝ définie par $ f(x) = \sin(\frac{x}{2}) $ est périodique.
c)Entre deux rationnels distincts il y a au moins un troisième rationnel
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Je suis d'accord avec vous. A un moment, j'ai essayé de présenter des énoncés qui se voulaient des des approfondissements de thèmes du programme du lycée ou même, en cours d'année, des introductions de thèmes de term qui sont vus plus vers la fin (intégration par ex.), ou encore des introductions guidées à des thèmes qui seront étudiés ensuite, etc.spemaths a écrit :Je comprends pas pourquoi ce topic est truffé d'exercices à astuces plutôt que d'exercices un peu plus guidés certes mais apprennant vraiment le raisonnement mathématique. Au fond les dizaines d'exo d'arithmétique et d'équations fonctionnelles on s'en fout un peu.
En majorité, les personnes d'ici s'en foutent et préfère bouiner leurs petits "trucs" débiles en pensant que ça enrichit l'expérience ou je ne sais quoi. Mais quand on lit certains messages récents de term qui sont ici depuis un petit moment, on comprend que de l'exo merdique résolu en décembre, il ne reste rien en mars. Ce qui est assez normal vu l'exo en question.
Je ne dis pas que tout est à jeter, mais le peu qui trouve grâce à mes yeux est noyé dans l'anecdotique.
Par faiblesse, il m'arrive occasionnellement de sombrer dans ce travers.
Le triptyque "exo d'olympiade", "exo du manuel", "exo de sup avec des sommes" me déprime profondément quand je sais que l'essentiel est ignoré.
Je déserte les lieux car nul n'est prophète en son pays. Vous allez me manquer tous et toutes. Bonne route.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
J'aurais tendance à dire : "il en faut de tout pour faire un monde" .
Il est clair qu'on a pas tous les mêmes goûts , les mêmes attentes en termes d'exos , ni les mêmes démarches, capacités face à un exo d'un tel type.
certains kiffent tel type d'exos (astucieux, guidés ou application d'un théorème etc.. ) de telle branche ( arithmétique, algèbre, analyse, logique/raisonnement etc..) et d'autres non .. Et si on fouille bien tout le topic (je l'ai pas fait ), statistiquement le choix doit être surement varié pour que chacun y trouve son bonheur sans en empêcher l'autre.
Il est clair qu'on a pas tous les mêmes goûts , les mêmes attentes en termes d'exos , ni les mêmes démarches, capacités face à un exo d'un tel type.
certains kiffent tel type d'exos (astucieux, guidés ou application d'un théorème etc.. ) de telle branche ( arithmétique, algèbre, analyse, logique/raisonnement etc..) et d'autres non .. Et si on fouille bien tout le topic (je l'ai pas fait ), statistiquement le choix doit être surement varié pour que chacun y trouve son bonheur sans en empêcher l'autre.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Je vous propose un exo que j’ai proposé l’an dernier, peux être que j’essaierai d’en proposer d’autres. Il est plus « technique » qu’ « astucieux ».
Je pense aussi qu’il faut préconiser les exos où vous mettez un peu la main dans le cambouis plutôt que les exos à astuces. Tfaçon pour la plupart d’entre vous, les exos à astuce de prépa vous les apprendrez par cœur pour les ressortir aux concours ou alors pour frimer au CDI devant vos potes. Par contre les maths de prépa c’est truffé d’exos techniques, c’est-à-dire d’exos où vous savez à peu près comment faire pour le résoudre mais où dès qu’il s’agit de rentrer un peu plus dans le détail dans la rédaction ça devient beaucoup plus compliqué. Des genres de trucs que d’après moi vous n’apprenez pas avec vos centaines d’exos d’arithmétique à astuces
Je pense aussi qu’il faut préconiser les exos où vous mettez un peu la main dans le cambouis plutôt que les exos à astuces. Tfaçon pour la plupart d’entre vous, les exos à astuce de prépa vous les apprendrez par cœur pour les ressortir aux concours ou alors pour frimer au CDI devant vos potes. Par contre les maths de prépa c’est truffé d’exos techniques, c’est-à-dire d’exos où vous savez à peu près comment faire pour le résoudre mais où dès qu’il s’agit de rentrer un peu plus dans le détail dans la rédaction ça devient beaucoup plus compliqué. Des genres de trucs que d’après moi vous n’apprenez pas avec vos centaines d’exos d’arithmétique à astuces
Soit $ (a_1,...a_n) $ et $ (b_1,...b_n) $ des réels strictement positifs et p, q 2 réels strictement positifs vérifiant $ 1/p + 1/q = 1 $
On veut montrer l'inégalité :
$ \sum_{i = 1}^n a_i b_i \leq (\sum_{i = 1}^n a_i^p)^{\frac{1}{p}} (\sum_{i = 1}^n b_i^q)^{\frac{1}{q}} $
1) Montrer que si $ x,y > 0 $ alors $ xy \leq x^p/p + y^q/q $
2) Montrer que l'inégalité de départ est vraie lorsque $ (\sum_{i = 1}^n a_i^p)^{\frac{1}{p}} = (\sum_{i = 1}^n b_i^q)^{\frac{1}{q}} = 1 $
3) Montrer alors le cas général en choisissant $ A > 0 $ et $ B > 0 $ tel que $ a'_i = a_i/A $ et $ b'_i = b_i/B $ vérifient les hypothèses de la question 2
4) Soit $ n\in \mathbb{N} $ et $ p > 1 $. Montrer qu'il existe deux constantes $ C_1 $ et $ C_2 > 0 $ à préciser tel que pour tous $ a_1,....a_n > 0 $ on ait :
$ C_1(\sum_{i = 1}^n a_i^p)^{1/p} \leq \sum_{i = 1}^n a_i \leq C_2(\sum_{i = 1}^n a_i^p)^{1/p} $
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
si vous pensez que votre Inégalité de Hölder est soi disant "intéréssante " que des exos d'arithmétiques dans ce marathon : je te laisses comparer les deux livres:spemaths a écrit :Je vous propose un exo que j’ai proposé l’an dernier, peux être que j’essaierai d’en proposer d’autres. Il est plus « technique » qu’ « astucieux ».
Je pense aussi qu’il faut préconiser les exos où vous mettez un peu la main dans le cambouis plutôt que les exos à astuces. Tfaçon pour la plupart d’entre vous, les exos à astuce de prépa vous les apprendrez par cœur pour les ressortir aux concours ou alors pour frimer au CDI devant vos potes. Par contre les maths de prépa c’est truffé d’exos techniques, c’est-à-dire d’exos où vous savez à peu près comment faire pour le résoudre mais où dès qu’il s’agit de rentrer un peu plus dans le détail dans la rédaction ça devient beaucoup plus compliqué. Des genres de trucs que d’après moi vous n’apprenez pas avec vos centaines d’exos d’arithmétique à astuces
Soit $ (a_1,...a_n) $ et $ (b_1,...b_n) $ des réels strictement positifs et p, q 2 réels strictement positifs vérifiant $ 1/p + 1/q = 1 $
On veut montrer l'inégalité :
$ \sum_{i = 1}^n a_i b_i \leq (\sum_{i = 1}^n a_i^p)^{\frac{1}{p}} (\sum_{i = 1}^n b_i^q)^{\frac{1}{q}} $
1) Montrer que si $ x,y > 0 $ alors $ xy \leq x^p/p + y^q/q $
2) Montrer que l'inégalité de départ est vraie lorsque $ (\sum_{i = 1}^n a_i^p)^{\frac{1}{p}} = (\sum_{i = 1}^n b_i^q)^{\frac{1}{q}} = 1 $
3) Montrer alors le cas général en choisissant $ A > 0 $ et $ B > 0 $ tel que $ a'_i = a_i/A $ et $ b'_i = b_i/B $ vérifient les hypothèses de la question 2
4) Soit $ n\in \mathbb{N} $ et $ p > 1 $. Montrer qu'il existe deux constantes $ C_1 $ et $ C_2 > 0 $ à préciser tel que pour tous $ a_1,....a_n > 0 $ on ait :
$ C_1(\sum_{i = 1}^n a_i^p)^{1/p} \leq \sum_{i = 1}^n a_i \leq C_2(\sum_{i = 1}^n a_i^p)^{1/p} $
1) Pham kimg Hung (Volume 1 , Volume 2) the Secret of Inequalities Google it.
2) Sato (Number Theory) https://www.artofproblemsolving.com/art ... SatoNT.pdf
ce sont parmi les meilleurs livres pour les Inégalités , pour l'arithmétique , commençes par jetter un coup d'oeil sur le deuxième , une fois fini le premier te semblera
chiant voire dégueu . pas convaincu ? alors là une 5/2 dans un asile te fera du bien !
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
No hablo espanol.
Sinon, j'en propose deux :
Pour rester dans l'arithmétique...
Exo 1 :
Un ami l'a eu en colle !
Montrer qu'il existe un multiple de 1996 dont l'écriture décimale ne comporte que le chiffre 4.
Exo 2 :
Celui là, il est à essayer si vous connaissez les bases de l'intégration...
1) Faites un dessin, et étudiez l'intégrale ( donc l'aire sous la courbe... ) de la fonction inverse sur R*(+).
2) Soit n dans $ N $*, on note $ Dn $ la somme de ses diviseurs. Montrer que $ Dn \leqslant n +nln(n) $.
Sinon, j'en propose deux :
Pour rester dans l'arithmétique...
Exo 1 :
Un ami l'a eu en colle !
Montrer qu'il existe un multiple de 1996 dont l'écriture décimale ne comporte que le chiffre 4.
Exo 2 :
Celui là, il est à essayer si vous connaissez les bases de l'intégration...
1) Faites un dessin, et étudiez l'intégrale ( donc l'aire sous la courbe... ) de la fonction inverse sur R*(+).
2) Soit n dans $ N $*, on note $ Dn $ la somme de ses diviseurs. Montrer que $ Dn \leqslant n +nln(n) $.