Exercices de MPSI

[wallissen]

Un exo que j'aime bien

On suppose a < b. En utilisant les propriétés de calcul d'aire pour l'intégrale, calculer $ \int_{a}^{b}\sqrt{(x-a)(b-x)}dx $

[Oka]

L1 c'est en première année de licence à la fac, non ?
Tu veux passer les concours de MP en étant en première année de licence , ou tu veux faire juste les exos pour fun ?

oui je vais essayer le concours des ens, c'est gratuit donc y a rien a perdre

[wallissen]

L1 c'est en première année de licence à la fac, non ?
Tu veux passer les concours de MP en étant en première année de licence , ou tu veux faire juste les exos pour fun ?

oui je vais essayer le concours des ens, c'est gratuit donc y a rien a perdre

Ah oui les ens en plus T'es mon champion oka
T'as pu t'y préparer en une seule année, ou t'avais commencé depuis le lycée ? ou alors t'y vas en freestyle ?

Bonne chance en tout cas

[Mykadeau]

On suppose a < b. En utilisant les propriétés de calcul d'aire pour l'intégrale, calculer$ \int_{a}^{b}\sqrt{(x-a)(b-x)}dx $

Une proposition:

SPOILER:

On recherche l'aire sous la courbe C dont les points ont pour coordonnées $ (x;\sqrt{(x-a)(b-x)) $
$ y=\sqrt{(x-a)(b-x) $
donc $ y^{2}=\left | x-a \right |\left | b-x \right | $
Comme $ (x\geq a) $et $ (x\leq b) $.
On a $ y^2=(x-a)(b-x) $
$ y^2=-x^2+x(a+b)-ab $
$ x^2+y^2-x(a+b)=-ab $
$ (x-\frac{a+b}{2})^{2}+y^2=(\frac{a+b}{2})^{2}-ab $
$ (x-\frac{a+b}{2})^{2}+y^2=\frac{a^{2}+2ab+b^{2}-4ab}{4} $
$ (x-\frac{a+b}{2})^{2}+y^2=(\frac{a-b}{2})^{2} $ avec y positif.
La courbe est donc un demi cercle de centre $ (\frac{a+b}{2};0) $ et de rayon $ (\frac{b-a}{2}) $
L'aire sous la courbe est donc de $ \frac{1}{2}(\pi (\frac{b-a}{2})^{2}) $ soit $ \int_{a}^{b}\sqrt{(x-a)(b-x)}dx=\frac{\pi(b-a)^2}{8} $.

[wallissen]

Tout à fait .. Bravo C'est un joli exo qui illustre les applications de l'intégrale je trouve

Dans le livre où je l'ai tiré, c'est plus mesquin : ils ont juste demandé calculer l'intégral sans donner l'indication du calcul d'aire.

[darklol]

Dans le livre où je l'ai tiré, c'est plus mesquin : ils ont juste demandé calculer l'intégral sans donner l'indication du calcul d'aire.

On peut aussi calculer cette intégrale sans interprétation géométrique en trouvant une primitive explicite, mais je ne pense pas que ça te soit accessible (mais c'est assez facile).

(Je parle bien sûr de la méthode pour trouver la primitive qui ne t'est pas accessible, n'importe qui peut calculer cette primitive avec un logiciel de calcul formel)

[Mykadeau]

Oui sans l'aire ça paraît difficile . Merci à géogébra sans lequel je n'aurais pensé que ça faisait un demi-cercle.

[wallissen]

Dans le livre où je l'ai tiré, c'est plus mesquin : ils ont juste demandé calculer l'intégral sans donner l'indication du calcul d'aire.

On peut aussi calculer cette intégrale sans interprétation géométrique en trouvant une primitive explicite, mais je ne pense pas que ça te soit accessible (mais c'est assez facile).

C'est possible avec les outils de terminale ? Je l'ai tiré d'un livre de terminale ( enfin d'un livre d'exos de transition de Terminale C vers les classes prépas. )

[Mykadeau]

J'ai l'impression que c'est un truc avec du arcsin donc je pense pas.

[darklol]

Non en effet, il y a une méthode générale pour trouver certaines primitives de racine carrées de fraction rationnelle à base de changement de variable trigo, donc inaccessible avec les outils de terminale.