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Leo11 a écrit :Trouver les couples d'entiers naturels $ (n;m) $ vérifiant $ n^m=m^n $.

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Syl20 a écrit :

Leo11 a écrit :Trouver les couples d'entiers naturels $ (n;m) $ vérifiant $ n^m=m^n $.

Juste une question, peut-être idiote : sachant que $ 0^0 $ n'a pas de définition systématique, peut-on tout de même dire que le couple (0,0) est solution ?

Par convention, en général, $ 0^0 = 1 $ puisque 1 est l'élément neutre de la multiplication. Ca se justifie aussi avec une histoire de continuité je crois. Mais effectivement, on m'a dit une fois que certains admettaient que $ 0^0= 0 $ (mais on ne me l'a pas justifié).
Dans tous les cas, $ 0^0 = 0^0 $, donc bon, $ (0;0) $ est forcément solution...

Bah justement, si $ 0^0 $ n'est pas défini, ça ne me semble pas évident : ça serait un peu comme dire que (0,0) est solution de $ x/y=y/x $

Syl20 a écrit :Bah justement, si $ 0^0 $ n'est pas défini, ça ne me semble pas évident : ça serait un peu comme dire que (0,0) est solution de $ x/y=y/x $

Tu prends une division, forcément.
Ici c'est un produit de nombres naturels. Quels seraient les arguments qui justifieraient que $ 0^0 $ ne soit pas défini ?
Une fois encore, il me semble que c'est la continuité qui te permet de justifier l'existence.

Ca dépend du domaine. C'est une convention.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=0^0 est donné comme étant "undef" ce qui est la bonne chose à faire dans ce genre de logiciels.

mathophilie : ta rédaction est mauvaise.
"il vient" : que sont n et m ici? Qu'as tu supposé?
"il faut" : ha bon? je croyais avoir compris que tu avais (implicitement) supposé qqch plus haut...donc ce n'est pas "il faut" mais "donc".
"De plus, on a supposé m et n distincts, donc min(m:n) = 1 a déjà été trouvé dans le cas m=n" : le "donc" ici est une horreur absolue. Ca n'a rien de logique. En quoi le fait de supposer qqch change la véracité du fait que qqch d'autre ait eté démontré (ou pas) plus haut??
As tu toutes les solutions? si oui soit tu as raisonné par équivalence, soit par analyse/synthèse....je peux de dire que ta rédaction n'est ni une suite d’équivalences (dès que tu écris "donc" tu n'as plus d'équivalence...c'est foutu...on ne raisonne JAMAIS par équivalence dans ces situations car 99% du temps ce sera faux.) ni une analyse/synthèse qui nécessite une rédaction claire en DEUX parties.

bref, que ce soit juste ou pas, ça vaut zéro en post bac.

fakbill a écrit :Ca dépend du domaine. C'est une convention.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=0^0 est donné comme étant "undef" ce qui est la bonne chose à faire dans ce genre de logiciels.

mathophilie : ta rédaction est mauvaise.
"il vient" : que sont n et m ici? Qu'as tu supposé?
"il faut" : ha bon? je croyais avoir compris que tu avais (implicitement) supposé qqch plus haut...donc ce n'est pas "il faut" mais "donc".
"De plus, on a supposé m et n distincts, donc min(m:n) = 1 a déjà été trouvé dans le cas m=n" : le "donc" ici est une horreur absolue. Ca n'a rien de logique. En quoi le fait de supposer qqch change la véracité du fait que qqch d'autre ait eté démontré (ou pas) plus haut??
As tu toutes les solutions? si oui soit tu as raisonné par équivalence, soit par analyse/synthèse....je peux de dire que ta rédaction n'est ni une suite d’équivalences (dès que tu écris "donc" tu n'as plus d'équivalence...c'est foutu...on ne raisonne JAMAIS par équivalence dans ces situations car 99% du temps ce sera faux.) ni une analyse/synthèse qui nécessite une rédaction claire en DEUX parties.

bref, que ce soit juste ou pas, ça vaut zéro en post bac.

Une réponse agréable. Heureusement que je ne suis pas encore en post-bac alors.

mathophilie : encore une fois, ca dépend et on s'en fiche.
Par exemple, si tu as une théorie sur des entiers positifs et uniquement sur des entiers positifs:
Tu as définis les entiers et les opérations + - * / sur les entiers positifs.
Tu peux définir une notation ^ comme un raccourci d'écriture à une longue suite de multiplications.
Dans ce contexte, la "continuité" dont tu as l'habitude (sur R) n'a aucun sens.
^0 est plutot dans ce cas un produit de 0 nombres...et on préfère dire que ca fait 1 pour des raisons d'algèbre :
https://en.wikipedia.org/wiki/Empty_product

Une réponse agréable

Oui très. Ce sera la réponse de beaucoup de profs de prépa *au début*.
Si tu rédiges encore comme ca en milieu d'année ce sera juste un gros trait rouge sur la copie et basta.

Chaque symbole doit être introduit.
A chaque étape, on doit savoir qui est quoi et ce qu'on suppose (et ce qu'on chercher à prouver).
Si on veut prouver A=>B, nul n'est besoin de prouver que A<=>B..surtout si c'est faux ou, même si c'est vrai, si la preuve proposée est fausse.

Peux tu me prouver que toute fonction réelle se décompose de façon unique en une somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire?
Je te donne "l'Astuce" : Considère 1/2 (f(x)-f(-x)) et 1/2 (f(x)+f(-x)).
Reste à le rédiger proprement.
Qu'est ce qu'on suppose? Qu'est ce qu'on prouve? Est ce fini? non car on n'a prouvé uniquement que si une telle décomposition existe alors elle est unique. Reste À prouver qu'elle existe. Pour prouver qu'elle existe, que faut il exhiber? Est ce suffisant?

fakbill a écrit :mathophilie : encore une fois, ca dépend et on s'en fiche.
Par exemple, si tu as une théorie sur des entiers positifs et uniquement sur des entiers positifs:
Tu as définis les entiers et les opérations + - * / sur les entiers positifs.
Tu peux définir une notation ^ comme un raccourci d'écriture à une longue suite de multiplications.
Dans ce contexte, la "continuité" dont tu as l'habitude (sur R) n'a aucun sens.
^0 est plutot dans ce cas un produit de 0 nombres...et on préfère dire que ca fait 1 pour des raisons d'algèbre :
https://en.wikipedia.org/wiki/Empty_product

Thanks pour le lien. Ca c'est l'histoire de l'élément neutre non ?
Ok, j'avais pourtant lu quelque part une histoire de prolongement par continuité, mais je maîtrise pas du tout, donc bon...

je le rereredis ca DEPEND
Si on est en analyse réelle et qu'on a défini une fonction "exp" de R dans R alors on peut regarder par continué et donner un sens à 0^0 en prenant x^0 et en faisant tendre x vers 0 ou un machin du genre.

En algèbre, oui, c'est relié à la notion de neutre. il est naturel de dire que "multiplier 0 fois par un nombre revient à ne rien faire et donc à multiplier par 1"...mais ca n'a rien de fondamental. C'est anecdotique.

Ce qui est fondamental c'est de savoir rédiger proprement une preuve du genre "
toute fonction réelle se décompose de façon unique en une somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire"
fais le et on corrigera.