Exercices de MPSI

[Mykadeau]

Proposition pour l'exercice de mathophile.

SPOILER:

On a:
$ S_n=\sum_{1}^{n-1}\sin (\frac{k\pi}{n})=\sum_{0}^{n-1}Im(e^{i\frac{k\pi}{n}}) $
Soit $ S_n=Im(\frac{1-e^{\frac{i\pi}{n}^{n}}}{1-e^{\frac{i\pi}{n}}}) $
$ S_n=Im(\frac{2}{1-e^{i\frac{\pi}{n}}})=Im(\frac{2}{1-e^{i\frac{\pi}{n}}}*\frac{1-e^{-i\frac{\pi}{n}}}{1-e^{-i\frac{\pi}{n}}})=Im(\frac{2(1-e^{-i\frac{\pi}{n}})}{1-e^{i\frac{\pi}{n}}-e^{-i\frac{\pi}{n}}+1} $$ =Im(\frac{2(1-e^{-i\frac{\pi}{n}})}{2-2cos(\frac{\pi}{n})})=Im(\frac{1-e^{-i\frac{\pi}{n}}}{1-1cos(\frac{\pi}{n})})=\frac{-sin(\frac{-\pi}{n})}{1-cos(\frac{\pi}{n})} $
$ S_n=\frac{sin(\frac{\pi}{n})}{1-cos(\frac{\pi}{n})}=\frac{2sin\frac{\pi}{2n}cos\frac{\pi}{2n}}{1-(1-2sin^{2}(\frac{\pi}{2n}))} $
$ S_n=\frac{cos\frac{\pi}{2n}}{sin(\frac{\pi}{2n})}=\frac{1}{tan(\frac{\pi}{2n})} $
Soit$ \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{(S_n)}{n}=\lim_{x\rightarrow \infty}(\frac{n}{tan(\frac{\pi}{2n})})=\infty $

[Ewind]

Arc-moitié. ( l'exo de mathophilie est ultra classique, je l'ai eu en DM cette année )( sup PCSI)

[wallissen]

Tu trouveras normalement ton bonheur dans ce formulaire http://www.trigofacile.com/maths/trigo/ ... ulaire.pdf

[Mykadeau]

Merci beaucoup. On utilise tellement peu ça en terminale , Ahah si c'est un classique c'est cool de le faire maintenant .J'édit du coup.

[wallissen]

Arc-moitié. ( l'exo de mathophilie est ultra classique, je l'ai eu en DM cette année )( sup PCSI)

Je l'ai eu déjà en DS sur les complexes, mais y avait une question avant.

[mathophilie]

Pas mal
4e ligne en partant de la fin, tu n'as pas introduit x
L'inégalité devient large après passage à la limite quand n tend vers l'infini.

D'accord merci ! J'ai édité le message juste au -dessus.

Proposition pour l'exercice de mathophile.

SPOILER:

On a:
$ S_n=\sum_{1}^{n-1}\sin (\frac{k\pi}{n})=\sum_{0}^{n-1}Im(e^{i\frac{k\pi}{n}}) $
Soit $ S_n=Im(\frac{1-e^{\frac{i\pi}{n}^{n}}}{1-e^{\frac{i\pi}{n}}}) $
$ S_n=Im(\frac{2}{1-e^{i\frac{\pi}{n}}})=Im(\frac{2}{1-e^{i\frac{\pi}{n}}}*\frac{1-e^{-i\frac{\pi}{n}}}{1-e^{-i\frac{\pi}{n}}})=Im(\frac{2(1-e^{-i\frac{\pi}{n}})}{1-e^{i\frac{\pi}{n}}-e^{-i\frac{\pi}{n}}+1} $$ =Im(\frac{2(1-e^{-i\frac{\pi}{n}})}{2-2cos(\frac{\pi}{n})})=Im(\frac{1-e^{-i\frac{\pi}{n}}}{1-1cos(\frac{\pi}{n})})=\frac{-sin(\frac{-\pi}{n})}{1-cos(\frac{\pi}{n})} $
$ S_n=\frac{sin(\frac{\pi}{n})}{1-cos(\frac{\pi}{n})} $ et la j'ai besoin d'un coup de pouce parce que je vois pas du tout comment passer de ça à $ \frac{1}{1-tan(\frac{\pi}{2n})} $

D'accord, maintenant tu vois qu'il y a du pi/n et tu cherches du pi/2n...
Les formules cos(2x) =... et sin(2x)=... sont tes amis

[fakbill]

Je pense que pour qlqn en TS il est très bon de savoir écrire proprement une analyse synthèse.
On peut se permettre de rajouter du blabla "sans valeur logique" (SIC) mais seulement ssi on sait faire une analyse synthèse propre.

Désolé mais, quand on demande de prouver qu'une décomposition est *unique*, je trouve étrange de trouver une partie de la conclusion entre parenthèse.
De plus, je ne suis pas un gros fan du "en fixant" qui apparaît au début.

Pour en revenir à l'autre problème, re-désolé mais il y a une différence entre "des solutions" et "les solutions".

[wallissen]

Arf ca marche presque à tous les coups car les gens sont habitués à un enseignement très segmenté.
Faites un cours sur les intégrales en terminale et demander de calculer l'aire sous (en partant de l'axe des abscisses...) la courbe 2x+1 sur [0,1]...si vous avez UN élève qui vous dit "ben c'est un trapèze wtf???" alors vous pouvez être content (pas du wtf....encore que...dans le contexte... )
Pareil avec "l'étude du sens de variations d'une fonctions". Prenez une fonction dont on peut dire à vue qu'elle est croissante...tout le monde va la dériver.

C'est en partie normal mais aussi en partie du à l’extrême cloisonnement de l'enseignement.
"que faut il réviser pour le DS"?
La réponse en sciences devrait toujours être "tout depuis la maternelle".
En histoire/géo c'est peut être un peu différent mais allez mettre un document d'une période dans un DS d'analyse de docs venant après l'étude d'une toute autre période...et constater le désastre

Si on dit à vue d'oeil qu'elle est dérivable , on demandera de le justifier ... Que faire du coup ?

[Mykadeau]

Et wallissen, tu as eu ce genre de question en Terminale?? Moi j'ai même pas encore vu l'exp complexe ni les arguments etc...

[kakille]

L'idée est d'essayer d'employer l'argument le plus élémentaire qui est à ta portée. Pour justifier que $ x\mapsto x+\exp(x) $ est croissante sur $ \mathbb{R} $, il est préférable d'invoquer la croissance de chacune des fonctions-termes-qui-sont-de-référence plutôt que la positivité de la dérivée. C'est juste pour remettre les choses à leur place dans l'économie générale : concernant les réels, on a d'abord appris la compatibilité des opérations avec la relation d'ordre et ensuite des notions plus fines concernant sa topologie.

Ca montre que vous avez un peu suivi le déroulement de l'histoire.

Mais si on ne voit pas d'argument élémentaire et qu'on est pressé, on passe à l'autre. Quitte à passer pour une saucisse et prendre une leçon à méditer.