Exercices de MPSI

[wallissen]

Et wallissen, tu as eu ce genre de question en Terminale?? Moi j'ai même pas encore vu l'exp complexe ni les arguments etc...

Y avait une question intermédiaire où on demandait de calculer Cn + i*Sn avec Cn la somme des cos ..
(Après on utilise formule de Moivre tout ça ..)

T'as pu le faire sans avoir toutes ces notions ...Double Bravo alors

[wallissen]

L'idée est d'essayer d'employer l'argument le plus élémentaire qui est à ta portée. Pour justifier que $ x\mapsto x+\exp(x) $ est croissante sur $ \mathbb{R} $, il est préférable d'invoquer la croissance de chacune des fonctions-termes-qui-sont-de-référence plutôt que la positivité de la dérivée. C'est juste pour remettre les choses à leur place dans l'économie générale : concernant les réels, on a d'abord appris la compatibilité des opérations avec la relation d'ordre et ensuite des notions plus fines concernant sa topologie.

Ca montre que vous avez un peu suivi le déroulement de l'histoire.

Mais si on ne voit pas d'argument élémentaire et qu'on est pressé, on passe à l'autre. Quitte à passer pour une saucisse et prendre une leçon à méditer.

Je vois .. Je n'aime pas non plus bruler les étapes .. Mais pour les fonctions, clairement les dérivés ça facilite la vie

[kakille]

L'idée est d'essayer d'employer l'argument le plus élémentaire qui est à ta portée. Pour justifier que $ x\mapsto x+\exp(x) $ est croissante sur $ \mathbb{R} $, il est préférable d'invoquer la croissance de chacune des fonctions-termes-qui-sont-de-référence plutôt que la positivité de la dérivée. C'est juste pour remettre les choses à leur place dans l'économie générale : concernant les réels, on a d'abord appris la compatibilité des opérations avec la relation d'ordre et ensuite des notions plus fines concernant sa topologie.

Ca montre que vous avez un peu suivi le déroulement de l'histoire.

Mais si on ne voit pas d'argument élémentaire et qu'on est pressé, on passe à l'autre. Quitte à passer pour une saucisse et prendre une leçon à méditer.

Je vois .. Je n'aime pas non plus bruler les étapes .. Mais pour les fonctions, clairement les dérivés ça facilite la vie

La question n'est pas "Est-ce que ça facilite la vie ?". C'est plutôt "Est-ce pertinent ?".

Tu trouves ça satisfaisant d'utiliser un théorème dont tu ne maîtrises pas les tenants et les aboutissants à la place d'un truc dont tu perçois assez immédiatement pourquoi c'est vrai ? En maths, 1) faut un peu aimer démonter le moteur pour voir comment il marche 2) faut savoir utiliser un outil adapté.

Ton idole en photo va perdre son smile si tu continues. Pour info, il s'est amusé à retrouver les lois de Kepler sans dérivée et sans intégrale. C'est sur tes fesses qu'il va finir par appliquer ses mains en rythme.

[kakille]

Faites un cours sur les intégrales en terminale et demander de calculer l'aire sous (en partant de l'axe des abscisses...) la courbe 2x+1 sur [0,1]...si vous avez UN élève qui vous dit "ben c'est un trapèze wtf???" alors vous pouvez être content (pas du wtf....encore que...dans le contexte... )

Une fois que t'auras arraché le mot "trapèze" au moins saucisse de tes Nabilo-Kevina, il y a de grandes chances qu'il se retrouve dans la situation d'une poule qui a trouvé un couteau : "On a jamais vu ça, comment on calcule son aire ?"

[mathophilie]

Proposition pour l'exercice de mathophile.

SPOILER:

On a:
$ S_n=\sum_{1}^{n-1}\sin (\frac{k\pi}{n})=\sum_{0}^{n-1}Im(e^{i\frac{k\pi}{n}}) $
Soit $ S_n=Im(\frac{1-e^{\frac{i\pi}{n}^{n}}}{1-e^{\frac{i\pi}{n}}}) $
$ S_n=Im(\frac{2}{1-e^{i\frac{\pi}{n}}})=Im(\frac{2}{1-e^{i\frac{\pi}{n}}}*\frac{1-e^{-i\frac{\pi}{n}}}{1-e^{-i\frac{\pi}{n}}})=Im(\frac{2(1-e^{-i\frac{\pi}{n}})}{1-e^{i\frac{\pi}{n}}-e^{-i\frac{\pi}{n}}+1} $$ =Im(\frac{2(1-e^{-i\frac{\pi}{n}})}{2-2cos(\frac{\pi}{n})})=Im(\frac{1-e^{-i\frac{\pi}{n}}}{1-1cos(\frac{\pi}{n})})=\frac{-sin(\frac{-\pi}{n})}{1-cos(\frac{\pi}{n})} $
$ S_n=\frac{sin(\frac{\pi}{n})}{1-cos(\frac{\pi}{n})}=\frac{2sin\frac{\pi}{2n}cos\frac{\pi}{2n}}{1-(1-2sin^{2}(\frac{\pi}{2n}))} $
$ S_n=\frac{cos\frac{\pi}{2n}}{sin(\frac{\pi}{2n})}=\frac{1}{tan(\frac{\pi}{2n})} $
Soit$ \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{(S_n)}{n}=\lim_{x\rightarrow \infty}(\frac{n}{tan(\frac{\pi}{2n})})=\infty $

C'est bon pour la démo de 1/tan(pi/2n). En revanche, la limite est fausse.

Quelqu'un a un exo sympa ?

[Mykadeau]

Ah ben oui c'est pas ça la limite et non je ne sais pas ou vous allez piocher vos exos d'habitudes

SPOILER:

$ \frac{1}{ntan(\frac{\pi}{2n})}=cos(\frac{\pi}{2n})\frac{1}{nsin(\frac{\pi}{2n})}=\frac{2}{\pi}\frac{\frac{\pi}{2n}}{sin\frac{\pi}{2n}}cos(\frac{\pi}{2n}) $
Or $ \lim_{n \to \infty}\frac{\pi}{2n}=0 $ et $ \lim_{N \to 0}(\frac{N}{sin(N)})=1 $, $ \lim_{N \to 0}(cos(N))=1 $
On en déduit $ \lim_{n \to \infty}(\frac{1}{ntan(\frac{\pi}{2n})})=\frac{2}{\pi} $

[mathophilie]

Ah ben oui c'est pas ça la limite et non je ne sais pas ou vous allez piocher vos exos d'habitudes

SPOILER:

$ \frac{1}{ntan(\frac{\pi}{2n})}=cos(\frac{\pi}{2n})\frac{1}{nsin(\frac{\pi}{2n})}=\frac{2}{\pi}\frac{\frac{\pi}{2n}}{sin\frac{\pi}{2n}}cos(\frac{\pi}{2n}) $
Or $ \lim_{n \to \infty}\frac{\pi}{2n}=0 $ et $ \lim_{N \to 0}(\frac{N}{sin(N)})=1 $, $ \lim_{N \to 0}(cos(N))=1 $
On en déduit $ \lim_{n \to \infty}(\frac{1}{ntan(\frac{\pi}{2n})})=\frac{2}{\pi} $

C'est ça
Ben je pinaille dans des polys type LLG / CG ante-2000 mais j'aime bien les exos proposés ici

[Mykadeau]

Pourquoi ante-2000, c'est nul le CG de nos jours?

[mathophilie]

Pourquoi ante-2000, c'est nul le CG de nos jours?

Non c'est juste que les exos tenaient en 2-3 lignes en moyenne avant 2000. Et j'aime bien ce genre d'exos

[wallissen]

Kakile, c'est drole j'ai déjà eu cette même discussion avec Magnéthorax il y a quelques temps.
Je préfère évidemment utiliser quelque chose justifiée et que j'ai comprise. Mais pour les dérivés c'est un peu spécial . C'est quand même parfois fastidieux de se servir de la formule classique de variation. C'est pourquoi je dis que ça facilite la vie. Evidémment la relation entre dérivé et sens de variation est parachutée en cours de Première sans beaucoup d'explication, mais localement au voisinage du point ( et non sur tout l'intervalle ) on peut voir intuitivement pourquoi ça marche .