Exercices de MPSI

[Monsterkuru]

Avant de dire une bêtise et de me faire (à juste titre certes mais quand même ) taper sur mes doigts, est-il hp de dire qu'une fonction continue sur [a,b] admet un maximum sur cet intervalle ?
+ pour la 2 : la continuité est bien une CN de la dérivabilité ?

Oui c'est complètement HP, et la notion primordiale dont découle ce résultat ( la compacité ) est très éloignée du programme de terminale. Ça peut sembler évident, mais ce n'est pas trivial à démontrer, loin de là. Je ne dispose pas d'une démonstration level terminale et ça m'étonnerait qu'il y en ait une qui ne fait pas appel à des outils de sup ( suites et BW ).

[darklol]

Wallissen, c'est vrai que tu mélanges pas mal de trucs (notamment tu avais dit plus haut un truc du style "BW est équivalent au TVI" alors que ça n'a mais AUCUN rapport...)

Il parlait du théorème de Bolzano (et non pas Bolzano-Weierstrass), qui est un cas particulier du TVI (mais je ne sais pas si c'est équivalent au TVI, à voir).

[Monsterkuru]

Attention ! Une fonction peut être dérivable ( pas la peine de nommer la continuité... ) sans que sa dérivée soit continue ! Mais le TVI marche encore dans ce cas ( théorème de Darboux )

[wallissen]

Wallissen, c'est vrai que tu mélanges pas mal de trucs (notamment tu avais dit plus haut un truc du style "BW est équivalent au TVI" alors que ça n'a mais AUCUN rapport...)

Tu pourrais au moins essayer de bien lire ce que j'ai écrit avant de m'accuser à tort ?

J'ai parlé de Théorème de Bolzano et dans mon cours c'était marqué TVI (pour la dichotomie ) ou théorème de Bolzano. Je viens de vérifier sur la page wikipédia et il se trouve qu'il y est marqué la même chose https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... %A9diaires

Bon déjà, des exos intéressants dans le cadre du programme yen a des tonnes et des tonnes. Mais c'est sûr que si tu te restreins à tes bouquins vieux de 20 ans, tu n'en trouveras pas là-dedans vu que les programmes ont changé.
Et puis ensuite, les inégalités, c'est justement de l'analyse. D'ailleurs à part les matrices et éventuellement les polynômes(l'usage qu'on en fait en term se ramène à de l'analyse), il n'y a pas d'algèbre en term...

Là aussi j'ai pris 1000 précautions pour parler UNIQUEMENT analyse et j'en doute pas qu'il y en a "des tonnes et des tonnes" d'exos intéressants sur tout le programme ..
Déjà dans mes bouquins il y a une nette séparation entre ce qui est intitulé algèbre et ce qui est intitulé analyse, mais bon pour me dédouaner et fournir d'autres sources, disons que je considère comme algèbre tout ce qui est intitulé Algèbre dans cette page animaths http://www.animath.fr/spip.php?article255 à savoir : inégalités (tiens tiens ^^ ) , polynomes , équations fonctionnelles (et il y a pas mal de démos intéressantes à faire là dedans oué ) ..

Ah oui j'oublie pas non plus les équations du 1ère degré , du second degré, du troisième degré....du 10ème degré, ça aussi je ne crois pas que ce soit de la géométrie ou de l'analyse au lieu d'algèbre

Et l'analyse pour moi c'est tout ce qui est limlite, continuité, dérivation, suites, intégrales ...je n'en trouve pas des masses sur le site animath, dommage^^

[mathophilie]

J'ai fini ma lecture. Pourquoi un soudain engouement pour les exos calculatoires ou HP ?

Il y a tant d'exos astucieux intéressants qui ne nécessitent que la maîtrise du programme de Term, et que nous ne connaissons pas et serions probablement incapables de faire... Le tout est de les trouver (au deux sens du terme ici ).

EDIT : Que cela ne soit pas mal interprété, je ne suis pas contre le HP comme certains, c'est cool d'avoir de tels exos de temps en temps et de découvrir de nouveaux trucs par leur biais, mais les exos astucieux... c'est plus mieux pour aiguiser son sens mathématique non ? Et have fun par la même occasion ?
Après ce n'est que mon avis.

[darklol]

SPOILER:

Supposons que le maximum sur I de la fonction f soit atteint en a : $ \forall x\in I-{a}, f(x)\leq f(a) \Rightarrow \frac{f(x)-f(a)}{x-a}<0 $. Or, $ f'(a)=lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $. Toutefois, la limite à droite de l'expression est négative, alors même que f'(a)>0. Il y a donc contradiction : le maximum de f n'est donc pas atteint en a.
On raisonne de manière analogue en b.
Comme l'image de I par f est un segment, f admet bien un maximum sur [a,b]. De plus, ce maximum n'est atteint ni en a, ni en b.
f atteint donc son maximum sur un point de ]a,b[
2) g est dérivable et continue sur I, sa dérivée g' est donc elle aussi continue sur I. Donc, d'après le TVI, $ g'(a)\leg g'(x)\leq g'(b) $ admet au moins une solution dans I

Ok pour la question 1) (mais l'inégalité est large dans ton taux de variation, pas stricte). La question 2) est très fausse par contre, c'est une faute grave de penser que si g est continue et dérivable, alors g' est continue. Il me semble même qu'un contre-exemple a été donné dans les précédentes pages (à propos de fonctions non continues qui admettent une primitive).

[Leo11]

Wallissen, c'est vrai que tu mélanges pas mal de trucs (notamment tu avais dit plus haut un truc du style "BW est équivalent au TVI" alors que ça n'a mais AUCUN rapport...)

Il parlait du théorème de Bolzano (et non pas Bolzano-Weierstrass), qui est un cas particulier du TVI (mais je ne sais pas si c'est équivalent au TVI, à voir).

Ah ok je n'avais jamais entendu cette appellation.
Mais de toute façon, ça ne change pas ce que j'ai dit, je pourrais trouver d'autres exemples ou des notions HP introduisent des confusions.

[kakille]

Vous me faites bien marrer les saucisses avec vos exos hp alors que vous maîtrisez à peine votre cours de base.

Quand on a la tête en beurre, on s'approche pas du four.

Je sais pas de quoi tu parles

Bah ouvre les yeux, patate douce. Qu'est-ce qui n'est pas clair dans cette phrase ?

Tu dis des choses sur le programme de term actuel français qui montrent que tu ne maîtrises pas assez ce dont tu parles. Ce n'est pas un problème si tu peux l'admettre. Sinon tu progresseras pas, ou mal, ou très lentement.

Approfondir, questionner, clarifier ce qui est enseigné plutôt que jouer aux grands comme des gamins.

Less confusion, more depth.

[mathophilie]

Pitié, tout le monde reste peaceful, que ca ne parte pas en live comme sur le topic lycéen...

[wallissen]

Bon je vais peut être arrêter de poster des exos d'analyse...
Je me disais juste c'est sympas de trouver des exos démonstrations d'analyse non calculatoire et exploitant pleinement les résultats d'analyse en Première/terminale ( TVI, définition limite, continuité, dérivation etc...)
Malheureusement je n'en trouve pas des masses dans les ressources pour lycée ou sur animaths..
Les rares que je trouve suscitent hélas trop de polémique entre le programme et HP¨.