Exercices de MPSI

[Siméon]

@mathophile : et sans déplacer les morceaux ?

@wallissen : un camembert n'est pas un disque.

[wallissen]

C'est quoi un camembert ? ^^ ..
J'ai tracé juste un cercle moi et j'ai commencé à découper
Du coup ma solution marche pour un disque , non ?

"nouvelles morceaux " oups la faute d'accord ^^ En fait j'hésitais à chaque fois à choisir entre nouvelle part et nouveau morceau, j'ai fini pas mélanger et fait n'importe quoi

[mathophilie]

@mathophile : et sans déplacer les morceaux ?

SPOILER:

EDIT : erreur / no distinction des cas needed.

On commence par découper la surface du camembert en (n-1) coups de couteaux. Pour obtenir un maximum de parts, il nous faut tracer (n-1) droites non parallèles entre elles. A chaque k-ème nouveau coup de couteau, il se forme k nouvelles parts, soit au total : $ i=1 + \sum_{k=1}^n\frac{n(n-1)}{2} $
Il nous faut ensuite utiliser le dernier coup (n-ème) de couteau pour couper dans l'épaisseur du camembert, ce qui nous permet de doubler le nombre de parts obtenues avec les (n-1) précédents coups à la surface.
On en déduit que le nombre de parts maximal de camembert obtenu avec n coups de couteaux est : $ i=(n-1)*n+2 $

Peut-être attendez-vous d'autres justifications, si toutefois cela est juste... Dans ce cas, je suis désolée, mais j'ai tennis, donc que personne ne s'étonne si je ne réponds pas dans les 4 prochaines heures (traduction : ce ne sera pas un vent )

[Syl20]

Un autre exercice de dénombrement (plus difficile) :

[Exercice 523.1] Si on coupe $ n $ fois un camembert, combien de morceaux obtient-on au maximum ? (on coupe droit)

Si on suppose qu'on peut couper un camembert dans n'importe quel sens :

SPOILER:

On note $ v_n $ le nombre de parts qu'on fait au max en coupant un disque n fois: $ u_n= 1+ \frac{n(n+1)}{2} $.
Lorsqu'on coupe une n+1ème fois le camembert de telle sorte à ce que le plan de coupe ne soit parallèle à aucun (comme les plans précédents entre eux). Il admet donc n droites d'intersections sécantes entre elles, et partage donc $ u_n $ plans
De plus, on note $ u_n $ le nombre de part qu'on fait au max dans le camembert : $ v_{n+1}=v_n+ u_n $. On trouve finalement $ v_n= 1+n+ \frac {n(n+1)(n-1)}{6} $.

Je conviens que c'est un peu pourri au niveau rédaction, je préciserais si besoin.
PS :

conduite

tennis

Vacances passionnantes (déjà fini )
PPS : Beau lion !

[wallissen]

Merci

En fait il faut couper n fois ou n+1 fois ?

D'ailleurs, je ne comprends pas toujours la différence entre le disque et le camembert...si quelqu'un pourrait eventuellement expliquer ^^

[phibang]

Un disque c'est "plat", c'est dans le plan. Un camembert c'est dans l'espace.

[wallissen]

Ah d'accord
Mais du coup ça change le nombre de parts entre les deux si on tranche verticale (a partir de la surface de haut ) ? Ou faut -il encore encore maximiser les parts en coupant sur les parois ? ^^

Joyeux anniversaire au passage

[phibang]

Aucune idée, demande à Siméon.

Merci

[Syl20]

En gros, tu peux couper dans tous les sens que tu veux je crois. C'est le même genre de raisonnement que pour un disque (couper une fois de plus et regarder ce qui se passe)
Bon anniversaire à Tonio1804 !

[wallissen]

Oui je coupe dans tous les sens . Je parlais verticale dans le sens profondeur.
Si je prends n = 3, il me semble impossible de faire plus de parts que celle de la coupure qui coupe les deux autres en deux points différents.
Bah si je coupe une nouvelle fois, j'obtiens le même procédé récursif pour n = 4.