Exercices de MPSI

[Syl20]

Nan mais je voulais dire : comme une boule, tu peux me couper autrement que verticalement et horizontalement (tes plans de coupes ne sont pas forcément parallèles à Ox, Oy ou Oz!)

[wallissen]

Ah ok j'avais pas compris désolé
Bien sûr que tu peux ! Tu peux même par exemple effectuer une coupe à 45°

ça devient plus complexe....en effet

@mathophilie Rien de spécial, juste par hasard et envie de changer

@kakille [message édité - merci de régler vos pb par mp]

Edit: Désolé, je pensais pas que c'était un modérateur qui a supprimé son message.

[Siméon]

[Exercice 523.1] Si on coupe $ n $ fois un camembert, combien de morceaux obtient-on au maximum ? (on coupe droit)

Si on suppose qu'on peut couper un camembert dans n'importe quel sens :

SPOILER:

On note $ v_n $ le nombre de parts qu'on fait au max en coupant un disque n fois: $ u_n= 1+ \frac{n(n+1)}{2} $.
Lorsqu'on coupe une n+1ème fois le camembert de telle sorte à ce que le plan de coupe ne soit parallèle à aucun (comme les plans précédents entre eux). Il admet donc n droites d'intersections sécantes entre elles, et partage donc $ u_n $ plans
De plus, on note $ u_n $ le nombre de part qu'on fait au max dans le camembert : $ v_{n+1}=v_n+ u_n $. On trouve finalement $ v_n= 1+n+ \frac {n(n+1)(n-1)}{6} $.

Je conviens que c'est un peu pourri au niveau rédaction, je préciserais si besoin.

Ça m'a l'air pas mal ! La réponse s'exprime en fait naturellement avec des coefficients binomiaux...

[kakille]

Je ne sais plus si celui-ci a reçu une réponse ou pas :

Soient $ p,q $ dans $ ]0,1[ $ tels que $ p+q=1 $ et $ p>q $. Déterminez les suites réelles $ (u_n)_{n\geq 0} $ qui sont

(H1) bornées

et telles que

(H2) $ u_0=pu_1 $ et, pour tout entier naturel non nul $ n $, $ u_{n}=qu_{n-1}+pu_{n+1} $.

[mathophilie]

Bien joué Syl20 !

Je ne sais plus si celui-ci a reçu une réponse ou pas :

Soient $ p,q $ dans $ ]0,1[ $ tels que $ p+q=1 $ et $ p>q $. Déterminez les suites réelles $ (u_n)_{n\geq 0} $ qui sont

(H1) bornées

et telles que

(H2) $ u_0=pu_1 $ et, pour tout entier naturel non nul $ n $, $ u_{n}=qu_{n-1}+pu_{n+1} $.

Je crois avoir déjà resolu cet exo. (Je vais voir si je le retrouve)

[ladmzjkf]

Magnéthorax avait parlé d'un exo de proba: http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... ba#p778895

[mathophilie]

@lamuyfuytvyutuytktvuy... : Ah bah merco, ca fait 20mn que je cherche
Voici ce que j'avais répondu.

Bonsoir,

voici un exo sur les suites qui provient d'un problème de probabilité. Le programme actuel suffit.

Soient $ p,q $ deux réels dans $ ]0,1[ $ tels que $ p+q=1 $ et $ p>q $. Déterminez toutes les suites $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ qui vérifient :

1. $ u_0=pu_1 $
2. Pour tout entier naturel non nul $ n $, $ u_n = pu_{n+1}+qu_{n-1} $
3. $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge vers $ 1 $.

Indication :

SPOILER:

Pour tout entier naturel $ n $, on a $ u_n=1\times u_n $

Je tente...

SPOILER:

$ p+q = 1 $
D'où $ u_n = pu_n+ qu_n $
D'où $ pu_{n+1}+qu_{n-1} = pu_n + qu_n $
Donc $ p(u_{n+1}-u_n) = q(u_n-u_{n-1}) $
D'où $ u_{n+1} - u_n = \frac{q}{p}(u_n - u_{n-1}) $ (car p et q non nuls)

On pose $ w_n = u_{n+1}-u_n $

Ainsi $ w_n $ est une suite géométrique de raison $ \frac{q}{p} $.

De plus, pour tout n de N, $ \sum_{k=0}^{n-1}w_k = u_n - u_0 $

D'où $ (u_1-u_0)*\frac{1-(\frac{q}{p})^n}{1-\frac{q}{p}} = u_n - u_0 $

Ainsi $ u_n = \frac{u_1-u_1(\frac{q}{p})^n - qu_1 + qu_1(\frac{q}{p})^n+ qu_1 - u_1\frac{q^2}{p}}{1-\frac{q}{p}} $

Soit en simplifiant et factorisant par u1 : $ u_n = u_1*\frac{1-p(\frac{q}{p})^n-\frac{q^2}{p}}{1-\frac{q}{p}} $

De plus, $ u_n $ converge vers 1.

Donc $ u_1 * \frac{1-\frac{q^2}{p}}{1-\frac{q}{p}} = 1 $

Donc, $ u_1 = \frac{1-\frac{q}{p}}{1-\frac{q^2}{p}} $

D'où $ u_n = 1 - \frac{p(\frac{q}{p})^n}{1-\frac{q^2}{p}} $

Une convergence de plus entre kakille et Magnéthorax, le coup du "je sais plus si ca avait été résolu" alors que ça date d'avant votre inscription ...

[wallissen]

Il a dévoilé qu'il était Magnéthorax dans son message supprimé (sans le faire exprès bien sûr )

[kakille]

Bien sûr que tout ça est involontaire.

"Car Je est un autre. Si le cuivre s’éveille clairon, il n’y a rien de sa faute."

Arthur Rimbaud à Paul Demeny (Lettre du Voyant, 15 mai 1871)

[kakille]

mathophile : je me rappelle maintenant que tu y étais parvenu.

J'ai donné un exo d'analyse il y a quelques jours dans le fil lycée, exo sur lequel Mykadau a bloqué. Normal : à y regarder de plus près, il était pas adapté. Depuis, je l'ai adapté aux sups. Si ça te/vous tente, vas voir dans le fil MPSI et, si besoin, j'ajoute à la demande des définitions, des résultats hp en term et toute précision utile.