Exercices de MPSI

[donnerwetter]

Soit $ \[f : \left [ 0,\right 1] \rightarrow \mathbb{R}\] $ continue telle que $ \[\int _{0}^{1}f(t)dt=0\] $. On note $ \[m\] $ le minimum et $ \[M\] $ le maximum de $ \[f\] $ sur $ \[\left [ 0, \right1 ]\] $. Démontrer que $ \[\int _{0}^{1}f^{2}(t)dt\leq -mM\] $.

A ne regarder qu'après avoir cherché plus d'une bonne demi-heure :

SPOILER:

Considérer $ \[\int _{0}^{1}(f(t)-M)(f(t)-m)dt\] $

SPOILER:

Considérons l'intégrale suivante :
$ \[\displaystyle\ \int _{0}^{1}(f(t)-M)(f(t)-m)dt\] $ =$ \displaystyle\ \int _{0}^{1}(f^{2}(t)-f(t)(m+M)+mM)dt $. D'où :
$ \[\displaystyle\ \int _{0}^{1}f^{2}(t)dt=\displaystyle\ \int _{0}^{1}(f(t)-M)(f(t)-m)dt $ $ + $ $ (m+M)\displaystyle\ \int _{0}^{1}f(t)dt $ $ -\displaystyle\ \int _{0}^{1}mMdt $. Par énoncé $ \displaystyle\ \int _{0}^{1}f(t)dt=0 $ donc :
$ \[\displaystyle\ \int _{0}^{1}f^{2}(t)dt=\displaystyle\ \int _{0}^{1}(f(t)-M)(f(t)-m)dt $ $ - $ $ mM $.

Or, pour tout $ t $ dans $ [0,1] $, $ f(t)\geq m $ et $ f(t)\leq M $ donc $ f(t)-m \geq 0 $ et $ f(t)-M\leq 0 $.

Ainsi, pour tout $ t $ dans $ [0,1] $, $ (f(t)-m)(f(t)-M)\leq0 $ et donc : $ \displaystyle\ \int _{0}^{1}(f(t)-M)(f(t)-m)dt\leq0 $. Il suit :
$ \displaystyle\ \int _{0}^{1}(f(t)-M)(f(t)-m)dt-mM\leq -mM $ c'est-à-dire $ \displaystyle\ \int _{0}^{1}f^{2}(t)dt\leq -mM $.

[spemaths]

Kuro le problème a 0 intérêt après avoir donné l'indic! Dommage de l'avoir postée tu aurais du laisser chercher!

[Kuroshitsu]

spemath > Oui je suis d'accord, la prochaine fois je ne donnerai pas l'indication dans le message.

donnerwetter > Oui c'est ça.

[mathophilie]

Quelqu'un a un exo intéressant et astucieux pour passer le temps ?

[rabhix98]

Le mien mais trop dur pour passer le temps

[mathophilie]

Le mien mais trop dur pour passer le temps

Dur oui ! Et surtout calculatoire. C'est pas ce qu'il y a de plus intéressant/astucieux.

[Hunted]

Quelqu'un a un exo intéressant et astucieux pour passer le temps ?

Montre que pour tout entier naturel $ n $, $ 2^{n+1} $ divise $ E[(1+ \sqrt{3})^{2n+1}] $

[mathophilie]

Quelqu'un a un exo intéressant et astucieux pour passer le temps ?

Montre que pour tout entier naturel $ n $ $ 2^{n+1} $ divise $ E(1+ \sqrt{3})^{2n+1} $

La puissance porte sur la partie entière ou sur ce qu'il y a dans la partie entière ? ...
Ok tu viens d'éditer.

[kakille]

Quelqu'un a un exo intéressant et astucieux pour passer le temps ?

Il y a toujours l'exo que j'ai proposé aux sup autour de la moyenne arithmétique et de la densité de la loi normale (mais c'est pas un exo de proba pour autant). Certaines questions nécessitent du hp par rapport à la term - hp qui a été récemment évoqué dans ce fil d'ailleurs (théorème des bornes atteintes par exemple). Il y a aussi une équation fonctionnelle. Et du calcul.

Au besoin, je peux te donner des indications et/ou des résultats que tu verras l'année prochaine.

As you like it.

[Arthur Dent]

Un exo amusant :
Calculer pour p entier $ \int_{0}^{\pi}} \cos^{2p}\left( t\right) dt$ $ avec des sommes de Riemann.