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kakille a écrit :Bonjour,

un plan euclidien étant muni d'un repère orthornomé, l'application $ \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} $ définie par

1. $ z\mapsto\bar{z} $ s'identifie à la symétrie orthogonale du plan dont l'axe est l'axe horizontal,

2. $ z\mapsto\mathrm{e}^{i\theta}z $ où $ \theta $ est un réel fixé s'identifie à la rotation du plan dont le centre est l'origine du repère et dont l'angle est $ \theta $,

3. $ z\mapsto z+a $ où $ a $ est un complexe fixé s'identifie à la translation du plan dont le vecteur et celui qui a pour affixe le complexe $ a $.

On se donne une droite $ d $ du plan. Donnez une expression de l'application de $ \mathbb{C} $ à $ \mathbb{C} $ qui s'identifie à la symétrie orthogonale d'axe $ d $.

kakille a écrit :Bonjour,

un plan euclidien étant muni d'un repère orthornomé, l'application $ \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} $ définie par

1. $ z\mapsto\bar{z} $ s'identifie à la symétrie orthogonale du plan dont l'axe est l'axe horizontal,

2. $ z\mapsto\mathrm{e}^{i\theta}z $ où $ \theta $ est un réel fixé s'identifie à la rotation du plan dont le centre est l'origine du repère et dont l'angle est $ \theta $,

3. $ z\mapsto z+a $ où $ a $ est un complexe fixé s'identifie à la translation du plan dont le vecteur et celui qui a pour affixe le complexe $ a $.

On se donne une droite $ d $ du plan. Donnez une expression de l'application de $ \mathbb{C} $ à $ \mathbb{C} $ qui s'identifie à la symétrie orthogonale d'axe $ d $.

Siméon a écrit : Exercice 567.1 Soit $ X $ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $ n $ et $ p $ avec $ 0 < p < 1 $.
Pour tous les entiers $ a,b $ avec $ a \geq 1 $, déterminer la limite de la probabilité que $ a $ divise $ X - b $ lorsque $ n $ tend vers $ +\infty $.

P.S. On pourra admettre ou démontrer la formule du binôme de Newton (HP) : $ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^ky^{n-k} $ pour tous $ x,y $ dans $ \mathbb C $.

mathophilie a écrit :

kakille a écrit :Bonjour,

un plan euclidien étant muni d'un repère orthornomé, l'application $ \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} $ définie par

1. $ z\mapsto\bar{z} $ s'identifie à la symétrie orthogonale du plan dont l'axe est l'axe horizontal,

2. $ z\mapsto\mathrm{e}^{i\theta}z $ où $ \theta $ est un réel fixé s'identifie à la rotation du plan dont le centre est l'origine du repère et dont l'angle est $ \theta $,

3. $ z\mapsto z+a $ où $ a $ est un complexe fixé s'identifie à la translation du plan dont le vecteur et celui qui a pour affixe le complexe $ a $.

On se donne une droite $ d $ du plan. Donnez une expression de l'application de $ \mathbb{C} $ à $ \mathbb{C} $ qui s'identifie à la symétrie orthogonale d'axe $ d $.

SPOILER:

L'équation de (d) dans le plan peut s'écrire : $ y=ax+b, (a;b) \in \mathbb{R}^2 $.
Pour considéré une symétrie axiale d'un point par rapport à (d), il suffit de se ramener à une symétrie horizontale pour ensuite faire les transformations nécessaires de sorte à "se remettre droit". On notera $ \theta $ l'angle orienté $ (u;OM) $ (vecteurs) où u est le vecteur directeur de l'axe des abscisses, et OM un vecteur directeur de (d). Il nous faut donc : - faire une translation verticale de -b (pour que la droite d passe par l'origine), - faire une rotation de $ -\theta $ (la droite (d) coincide avec l'axe des abscisses), - faire une symétrie horizontale par rapport à l'axe des abscisses - faire une rotation de $ \theta $ - faire une translation verticale de b (revenir dans la configuration initiale). Après bidouillage pour faire plus joli avec les conjugués et exponentielles, sauf erreur, je trouve : $ z \to e^{-2i\theta}(\bar{z}+ib) + ib $.

EDIT : Pas assez rapide.
@rahbix98 : Ben tu peux le traduire en application, après.

Déjà une 1ere définition : Soit $ (f_n) $ une suite de fonctions définies sur R. On dit que $ (f_n) $ converge simplement vers la fonction $ f $ si pour tout x on a $ f_n(x)\to f(x) $ quand n tend vers l'infini

Si X est une variable aléatoire on note $ F_X $ la fonction de répartition de X : $ F_X(x) = \mathbb{P}(X\leq x) $. Rappel : F est croissante et prend ses valeurs dans [0,1]
Si $ X_1,...X_n $ sont n variables aléatoires iid, on pose $ M_n = max(X_1,...X_n) $

1) Montrer que pour tout x : $ F_{M_n}(x) = (F_{X_1}(x))^n $ (Indice : exprimer $ \{M_n \leq x\} $ en fonction des $ X_i $)
2) Supposons que $ F_{M_n} $ converge simplement vers une certaine fonction F non constante. De variable aléatoire F peut il être la fonction de répartition?

Du coup vu qu'on a ce type de cas dégénérés on cherche à transformer $ M_n $ pour trouver une fonction de répartition limite non "dégénérée"

Pour une certaine loi donnée, on cherches des réels $ a_n>0 $ et $ b_n $ telle que la limite des fonctions de répartition de $ a_n(M_n - b_n) $ soit non dégénérée

3) Supposons que les $ X_i $ suivent une loi uniforme sur $ [0,1] $. On prend $ a_n = n $ et $ b_n = 1 $. Quelle est la fonction limite correspondante?

4) Supposons que les $ X_i $ suivent une loi exponentielle de paramètre 1. Déterminer de tels paramètres $ a_n $ et $ b_n $.