Exercices de MPSI

[Hunted]

Je reposte étant donné que personne ne l'a fait :

Montrer que $ (E):x^{2}+y^{2}=3 $ n'a pas de solution dans Q

C'est quoi l'inconnue dans ton équation ?

[Syl20]

Je reposte étant donné que personne ne l'a fait :

Montrer que $ (E):x^{2}+y^{2}=3 $ n'a pas de solution dans Q

J'avais séché dessus dans un premier temps, mais en fait c'est pas si compliqué

SPOILER:

On admet tout d'abord le lemme suivant (flemme de le redémontrer, c'est un exercice classique de terminale) : $ \forall (m,n) \in \mathbb{Z}^2, m^2+n^2 \equiv 0 [3]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m \equiv 0 [3]
\\ n \equiv 0[3]

\end{matrix}\right. $
On suppose qu'il existe un couple (x,y) de rationnels solution, et on note $ x=\frac{a}{c} $ et $ y=\frac{b}{d} $ des formes irréductibles de x et y.
$ (E) \Leftrightarrow \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{d^2}=3 \Leftrightarrow (ad)^2+(bc)^2=3(cd)^2 $
En utilisant le lemme, il vient : $ 3\mid ad $ et $ 3\mid bc $
Or, comme les fractions sont irréductibles, il n'y a que deux possibilités : a et b sont des multiples de 3 (hypothèse 1) ou sinon c et d sont des multiples de 3 (hypothèse 2).
Hypothèse 1 : $ (E) \Leftrightarrow 9d^2+9c^2=3(cd)^2 \Leftrightarrow d^2+c^2=\frac{(cd^2)}{3} \Leftrightarrow 3\mid (cd)^2 $. Il y a donc une incohérence : un des deux dénominateurs est multiple de 3, la fraction ne serait donc pas irréductible;
Hypothèse 2 : $ (E) \Leftrightarrow 9a^2+9b^2=3^5 \Leftrightarrow a^2+b^2 \equiv 0[3] $. En utilisant le lemme, on a à nouveau une incohérence : les fractions ne sont pas irréductibles
Donc dans tous les cas, il n'est pas possible de trouver deux rationnels (x,y) solutions de (E).

[mathophilie]

Je reposte étant donné que personne ne l'a fait :

Montrer que $ (E):x^{2}+y^{2}=3 $ n'a pas de solution dans Q

J'ai cru que j'avais déjà posté une résolution, mais faut croire que non.
Brièvement :

SPOILER:

On fixe y dans Q, c'est à dire : $ \exists (p;q) \in \mathbb{Z}^2, PGCD(p;q)=1 / $ $ y=\frac{p}{q} $. Vient alors : $ x^2 = 3-\frac{p^2}{q^2} $, soit $ x=\frac{\sqrt{3q^2-p^2}}{q} $. Si x est aussi dans Q, alors le numérateur (noté $ n $) est un entier. [EDIT (précision spécial Syl20) : On note $ d'=PGCD(\sqrt{3q^2-p^2};q). $alors d$ '^2 = PGCD(3q^2-p^2;q^2) = PGCD(p^2;q^2)=1 $, d'où $ d'=1 $], donc n premier avec q. De plus une racine est soit entière (carré parfait) soit irrationnelle. Il vient donc : $ 3q^2=p^2 + n^2 $, n étant premier avec q et p étant premier avec q. On note $ d=PGCD(p;n) $, alors d divise $ 3q^2 $ (d divisant toute combinaison linéaire de p et n). Il serait absurde que d divise $ q^2 $, puisque n et p sont tous les deux premiers avec q. On en déduit que d divise $ 3 $, d'où $ d=3 $. En notant $ p=d*u $ et $ q=d*v $; avec $ PGCD(u;v)=1 $, il vient par simplification : $ q^2=3u^2 + 3v^2 $, soit $ q^2=3(u^2+v^2) $. Donc q^2 est divisible par $ PGCD(p;n)=3 $ : Absurde comme dit précédemment (p et n premiers avec q). Donc, x n'appartient pas à Q, d'où le résultat.

@Syl20 : Pas besoin de lemmes...

@Hunted : En général, les couples solutions, mais c'est vrai qu'il a pas précisé dans son énoncé.

[Syl20]

$ x=\frac{\sqrt{3q^2-p^2}}{q} $. Si x est aussi dans Q, alors le numérateur (noté $ n $) est un entier premier avec q.

Pourquoi ? Si x et y n'ont pas le même dénominateur dans leur forme irréductible, comment fais-tu ?

[mathophilie]

$ x=\frac{\sqrt{3q^2-p^2}}{q} $. Si x est aussi dans Q, alors le numérateur (noté $ n $) est un entier premier avec q.

Pourquoi ? Si x et y n'ont pas le même dénominateur, comment fais-tu ?

...
Reprends $ x^2 = 3 - y^2 $. Donc $ x^2 = $ 3-\frac{p^2}{q^2} $. Donc $ x^2=\frac{3q^2-p^2}{q^2} $. Donc $ x=\frac{\sqrt{3q^2-p^2}}{q} $. $

[Syl20]

$ x=\frac{\sqrt{3q^2-p^2}}{q} $. Si x est aussi dans Q, alors le numérateur (noté $ n $) est un entier premier avec q.

Pourquoi ? Si x et y n'ont pas le même dénominateur, comment fais-tu ?

...
Reprends $ x^2 = 3 - y^2 $. Donc $ x^2 = $ 3-\frac{p^2}{q^2} $. Donc $ x^2=\frac{3q^2-p^2}{q^2} $. Donc $ x=\frac{\sqrt{3q^2-p^2}}{q} $. $

J'avais compris...
En fait, qu'est-ce qui te permets d'affirmer que la forme de x trouvée est bien une fraction irréductible ?

[mathophilie]

J'avais compris...
En fait, qu'est-ce qui te permets d'affirmer que la forme de x trouvée est bien une fraction irréductible ?

Déso...
Ben je l'ai pas précisé parce que ca me paraît assez évident (mais j'aurais sans doute dû déso) : tu es alors en train de supposer que $ \sqrt{3q^2 - p^2}= kq $, soit $ 3q^2-p^2=k^2q^2 $, soit $ p^2=q^2(3-k^2) $. p étant premier avec q...

EDIT : erreur, j'ai élargi la condition "premiers entre eux" à pas multiples...

[Syl20]

J'avais compris...
En fait, qu'est-ce qui te permets d'affirmer que la forme de x trouvée est bien une fraction irréductible ?

Déso...
Ben je l'ai pas précisé parce que ca me paraît assez évident (mais j'aurais sans doute dû déso) : tu es alors en train de supposer que $ \sqrt{3q^2 - p^2}= kq $, soit $ 3q^2-p^2=k^2q^2 $, soit $ p^2=q^2(3-k^2) $. p étant premier avec q...

Bah justement ta justification est fausse là, tu peux avoir PGCD(q,racine) différent de 1 sans que q ne divise la racine...

[mathophilie]

J'avais compris...
En fait, qu'est-ce qui te permets d'affirmer que la forme de x trouvée est bien une fraction irréductible ?

Déso...
Ben je l'ai pas précisé parce que ca me paraît assez évident (mais j'aurais sans doute dû déso) : tu es alors en train de supposer que $ \sqrt{3q^2 - p^2}= kq $, soit $ 3q^2-p^2=k^2q^2 $, soit $ p^2=q^2(3-k^2) $. p étant premier avec q...

Bah justement ta justification est fausse là, tu peux avoir PGCD(q,racine) différent de 1 sans que q ne divise la racine...

J'ai vu, déso...

[rabhix98]

J'avais compris...
En fait, qu'est-ce qui te permets d'affirmer que la forme de x trouvée est bien une fraction irréductible ?

Déso...
Ben je l'ai pas précisé parce que ca me paraît assez évident (mais j'aurais sans doute dû déso) : tu es alors en train de supposer que $ \sqrt{3q^2 - p^2}= kq $, soit $ 3q^2-p^2=k^2q^2 $, soit $ p^2=q^2(3-k^2) $. p étant premier avec q...

Bah justement ta justification est fausse là, tu peux avoir PGCD(q,racine) différent de 1 sans que q ne divise la racine...

En effet, sur le coup Syl20 a raison... Pour ma part j'ai fait la même chose que lui