Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
mathophilie

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par mathophilie » 09 mai 2016 22:25

Doublon.
Dernière modification par mathophilie le 09 mai 2016 22:29, modifié 1 fois.

mathophilie

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par mathophilie » 09 mai 2016 22:29

kakille a écrit :Je pense que je n'ai vu qu'une personne qui a pensé à résoudre cet exo en utilisant le cours sur le second degré.

Affligeant :twisted:

Ne vous ruez pas sur la dérivation comme si c'était la panacée universelle.
On m'ignore de plus en plus ici :(


mathophilie a écrit :
CendreWapiti a écrit :Un petit exo très facile à faire en terminale, mais je trouve la méthode tellement puissante...
Soit $ f $ une fonction continue de $ \mathbb{R} $ dans $ \mathbb{R} $ et $ (a,b) \in \mathbb{R}^2 $ avec $ a < b $

- Trouver la valeur de $ \alpha \in \mathbb{R} $ qui minimise $ \displaystyle I = \int_a^b(f(x)-\alpha)^2\text{d}x $ et interpréter le résultat.
On m'ignore de plus en plus ici :(
mathophilie a écrit :Je suis en cours sur mon tel donc je peux pas détailler, mais intuitivement, c'est pas la valeur moyenne de f sur a;b ?
Aka $ \frac{1}{b-a}*\int_a^b f(t)dt $ ?
Je dis ça comme ça.
Maintenant que je suis devant mon ordi je précise ma réponse (la justifie disons).
SPOILER:
Suffit de développer l'expression dans l'intégrale, on trouve : $ \int_a^bf^2 - 2\alpha\int_a^bf + (b-a)\alpha^2 $. Equation du second degré (forme $ cx^2 + dx + e $) d'inconnue $ \alpha $de coefficient (b-a) positif, admet donc un minimum en $ \alpha=\frac{-d}{2c} $, soit $ \alpha = \frac{\int_a^bf}{b-a} $. Valeur moyenne que je mentionnais précédemment en plus intuitif.
Après ca me paraît pas si puissant et c'est vu en Seconde, mais vous avez sans doute procédé différemment.

@axxxxxxxxxl : On était en permanence :wink:

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par kakille » 09 mai 2016 22:36

Relis mon message : "qu'une personne"
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."

Alain Badiou, Eloge des mathématiques.

mathophilie

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par mathophilie » 09 mai 2016 22:42

kakille a écrit :Relis mon message : "qu'une personne"
Désolée... J'ai lu "personne"...

C'est pas juste pour faire ièche, content que ça puisse t'aider :roll:
Du coup tu veux pas m'apprendre à lire ? Ca me servirait aussi en maths et physique :mrgreen: Nan, merci sérieusement.
Mykadeau a écrit :C'est au programme que l'annulation avec changement de signe de la dérivé signifie max/min, en première je pense. Mais après le contraire est pas vrai, si le minimum est sur les bords de l'intervalle, la dérivé n'est pas obligé d’être nulle je crois si ?
Ce que j'essayais de dire en mal au-dessus et je suis d'accord.
Il y a un truc que je trouve fascinant dans tout ça, c'est que la valeur moyenne d'une fonction est ce qui l'approxime le mieux dans un certain sens est la valeur moyenne.
Je crois que c'est comme ça que c'est présenté en Terminale donc ca surprend moins les plus jeunes peut-être. :)

Monsterkuru

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Monsterkuru » 09 mai 2016 22:46

mathophilie a écrit :Je remonte :
mathophilie a écrit :
Voici un exo sympa posté il y a longtemps par ladmj... :
Soit f une fonction continue et croissante, g une fonction continue et décroissante sur le même intervalle $ [0,a] $ tel que on ait $ \int_{0}^{a}(f(t)-g(t) dt=0. $
Montrer que pour tout $ (x,y)\in [0,a]^2 $ : $ x\int_{0}^{y} g(t) dt \geq y\int_{0}^{x} f(t) dt $
Quelqu'un m'a envoyé un message pensant qu'il y a une erreur d'inégalité, ce qui est possible (ladm... perdrait mon respect :mrgreen: je rigole). Mais personnelement, je suis arrivée à démontrer le résultat de l'énoncé donné tel quel. J'ai pu me planter.
Donc si certains veulent si essayer pour vérifier qu'il n'y a pas d'erreurs d'énoncé... :)
Un dernier truc :mrgreen: :mrgreen: : quand tu exprimes x en fonction de p et q, tu ne parles pas de la possibilité de x négatif (-sqrt(x²)). Ça change absolument rien au résultat mais bon voilà ;)
El pinailleur ! :mrgreen:
Oui c'est juste, mais c'est vraiment un exo nul ( au sens où il n'y a aucun sens mathématique à avoir )

mathophilie

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par mathophilie » 09 mai 2016 22:50

Si. Faut plutôt lire le programme de première pour ça je pense, même si les outils manquent pour le prouver. Sinon, en terminale ce fait se démontre à peu près bien avec la notion de limite.

Soit I un intervalle ouvert, non vide et f une fonction réelle définie sur I et admettant un minimum sur I. On note a un réel dans I tel que f(a) soit égal à ce minimum et on suppose que f est dérivable en a. Démontrez que f'(a)=0.
Cha'voue. Une idée pas bien rédigée et ensuite je file réviser mon bac blanc.
SPOILER:
On sait que $ \lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a) $. Or f(a) est me minimum de f sur I, donc pour x dans I, $ f(x)-f(a) \ge 0 $. f est dérivable en a à droite et à gauche. A gauche : $ x-a \le 0 $, donc $ f'(a) \le 0 $. A droite : $ x-a \ge 0 $ donc $ f'(a) \ge 0 $. D'où $ f'(a)=0 $.

Monsterkuru

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Monsterkuru » 09 mai 2016 22:51

CendreWapiti a écrit :Il y a un truc que je trouve fascinant dans tout ça, c'est que la valeur moyenne d'une fonction est ce qui l'approxime le mieux dans un certain sens est la valeur moyenne.
Mais pourquoi n'est-ce que pour le carré de $ f - \alpha $ ?
Intuitivement, on a très envie de dire que la meilleure approximation par une constante de f pour la valeur absolue, c'est aussi la valeur moyenne de f, et pourtant c'est faux
Bizarrement ça me ne me semble pas si intuitif ( enfin, maintenant que j'ai appris à me méfier de l'intuition xD )
Un truc dans le même registre et qui m'avait étonné ( mais qui a facilement une explication ) c'est le phénomène de divergence ( phénomène de Runge ) lors de l'approximation d'une fonction avec des polynômes de Lagrange ( quand on augmente le nombre de points, j'étais content car je croyais avoir démontré Stone-Weierstrass :roll: ), j'étais scotché la première fois, mais je ne connaissais pas la puissance de la dérivée et du petit o.


Sinon les TS du topic, vous avez un peu avancé le programme de sup ( pour que je puisse poster des exos intéressants qui ne soient pas de la géométrie ou de l'arithmétique :mrgreen: ) ?
Dernière modification par Monsterkuru le 09 mai 2016 22:54, modifié 1 fois.

mathophilie

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par mathophilie » 09 mai 2016 22:53

Oui c'est juste, mais c'est vraiment un exo nul ( au sens où il n'y a aucun sens mathématique à avoir )
Ok thanks pour la confirmation, je lui dirai.
J'avoue, c'est assez immédiat, mais bon personne n'avait posté de résolution, et quelqu'un demandait des exos d'intégrales pour bac blanc, je lui ai proposé celui-là.

Monsterkuru

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Monsterkuru » 09 mai 2016 23:10

Des intégrales ? Rien ne me vient à l'esprit ( faut dire que toute la " véritable " théorie autour est vue en sup ). Faudra se contenter de l'arithmétique comme vous n'aimez pas la géo :mrgreen:

Un célèbre :
Si $ N $ est un entier naturel, on note $ S (N) $ la somme des chiffres (en base 10, bien sûr ) de $ N $. Montrer que la suite $ S (2^{n}) $ diverge vers l'infini .
C'est moins dur que ( le cas particulier de ) Davenport-Cassels ( :roll: ), mais ça reste assez dur.
Dernière modification par Monsterkuru le 10 mai 2016 20:51, modifié 1 fois.

wallissen

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par wallissen » 10 mai 2016 00:03

darklol a écrit :
wallissen a écrit : Sinon on peut aussi passer par la dérivée directement. J'ai fait comme ça
SPOILER:
$ \displaystyle I(\alpha) = \int_a^b(f(x)-\alpha)^2\text{d}x $

Si $ I(\alpha) $ est minimal alors $ I'(\alpha) = 0 $ d'où $ -2\int_a^b(f(x)-\alpha)\text{d}x = 0 $

Ceci donne $ \int_a^bf(x){d}x - \alpha \int_a^b{d}x = 0 $ d'où $ \alpha = \frac{1}{b-a}\int_a^bf(x){d}x $
Ah oui donc toi tu sais dériver des trucs sous une intégrale au calme? C'est pas comme ça qu'il faut faire, si tu tiens vraiment à dériver, il faut qu'il n'y ait plus de $ \alpha $ dans les intégrales, comme mathophilie l'a fait. (En vrai on peut "dériver sous l'intégrale" dans le cas présent mais c'est vraiment utiliser un marteau piqueur, et tu verras ça qu'en spé, j'ai d'ailleurs envoyé une petite pique à ce propos à samsong, mais apparemment il ne l'a pas comprise...)
En fait j'hésitais un peu , et je savais pas si j'ai le droit de le faire ou pas mais Mathophilie a parlé de le valeur moyenne et j'avais trouvé la même chose en le faisant , je me suis dit que ça marche peut être :lol: .
Mais Merci, au moins le fait de l'avoir fait me permet d'avoir les idées fixes maintenant :mrgreen: Dériver qu'après avoir développé est plus justifié/prudent en effet. (Mais si j'ai bien compris, ça reste possible ici mais pas justifié en Terminale)
Et comme JeanN l'a dit, pas besoin d'utiliser ton fameux théorème sur l'annulation de la dérivée, les tableaux de variation ça existe et en plus c'est au programme de terminale (bonus).
Pourtant c'est ce que je fais d'habitude pour trouver les valeurs des extremums lorsque je fais un tableau de variation :?

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