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kakille a écrit :ça ne préjuge de rien. Choisis un énoncé qui te parait attaquable et donne-nous tes pistes.

wallissen a écrit :n + m personnes font la queue à l'entrée d'un cinéma; n d'entre eux ont des billets de cinq francs et les m autres n'ont rien de plus petit que des billets de dix francs.
Les tickets au cinéma coûtent 5 francs chacun. Au moment où le cinéma ouvre ses portes, il n'y a pas d'argent dans la caisse.
a) Si chaque client achète un seul ticket, quelle est la probabilité qu'aucun d'entre eux n'ait à attendre pour la monnaie?

b. Résoudre le même problème sous l'hypothèse qu'il y avait initialement p billets de cinq francs dans la caisse.

c) On suppose qu'il existe des billets de trois francs en circulation. n + m font personnes font la queue à l'entrée d'un cinéma; n d'entre eux n'ont qu'un seul franc
et les m autres ont seulement des billets de trois francs. Les tickets au cinéma coûtent 1 franc chacun et chaque personne veut un ticket. Lorsque le cinéma ouvre il n'y a pas d'argent dans la caisse. quelle est la probabilité qu'aucun d'entre eux n'ait à attendre pour la monnaie ?

SPOILER:

On pose $ X_k $ la v.a suivant une loi binomiale de paramètres k et $ \frac{n}{n+m} $. Pour que personne n'attendent sa monnaie, il faut qu'à aucun moment le nombre de personnes ayant payées avec un billet de 10 ne surpasse le nombre de personne ayant payé avec un billet de 5. On se place au moment où la k-ième personne vient de payer, le nombre de personne ayant payé avec un billet de 5 vaut $ X_k $ (j'ai un doute la dessus, j'ai le sentiment que l'indice de $ X $devrait rester le même) et le nombre de personnes ayant payé avec un billet de 10 vaut $ k-X_k $, donc pour que personne n'ai à attendre sa monnaie il faut que $ X_k-(k-X_k) = 2X_k-k \ge 0 $.
La probabilité noté $ q $ qu'à tout moment (pour tout k entre 1 et n+m), le nombre de billet de 10 n'excède pas celui de billet de 5 vaut $ \prod_{k=1}^{n+m}{P(X\ge \frac{k}{2}}) $ (enfn je crois...). Or, si k est impair alors $ P(X_k \ge \frac{k}{2}) = P(X_k\ge \frac{k+1}{2}) $.
Ce qui nous donne $ q = 2 \times \prod_{k=1}^{n+m}{P(X_k\ge k)} $ si n+m est pair et $ q = 2 \times \prod_{k=1}^{n+m-1}{P(X_k\ge k)}\times P(X_{n+m} \ge \frac{n+m+1}{2}) $ si n+m est impair. On a $ P(X_k \ge k)=1-\sum_{i=1}^{k-1}{P(X_k=i)} $ mais je pense pas que j'arriverais à faire grand chose avec

Par exemple j'ai posté un problème à trois étoiles ( celui sur les tickets de cinéma)

mathophilie a écrit :

n + m personnes font la queue à l'entrée d'un cinéma; n d'entre eux ont des billets de cinq francs et les m autres n'ont rien de plus petit que des billets de dix francs.
Les tickets au cinéma coûtent 5 francs chacun. Au moment où le cinéma ouvre ses portes, il n'y a pas d'argent dans la caisse.
a) Si chaque client achète un seul ticket, quelle est la probabilité qu'aucun d'entre eux n'ait à attendre pour la monnaie?

b. Résoudre le même problème sous l'hypothèse qu'il y avait initialement p billets de cinq francs dans la caisse.

c) On suppose qu'il existe des billets de trois francs en circulation. n + m font personnes font la queue à l'entrée d'un cinéma; n d'entre eux n'ont qu'un seul franc
et les m autres ont seulement des billets de trois francs. Les tickets au cinéma coûtent 1 franc chacun et chaque personne veut un ticket. Lorsque le cinéma ouvre il n'y a pas d'argent dans la caisse. quelle est la probabilité qu'aucun d'entre eux n'ait à attendre pour la monnaie ?

Super intéressant.
J'étais sûre que j'avais traité un truc semblable, je l'ai finalement retrouvé : (proposé par kakille il y a un bail)

On se place dans un repère orthonormé. Une souris, placée initialement en $ (0;0) $ , cherche à atteindre un fromage, placé en $ (a;b) $ avec a et b dans N. Elle ne peut que se déplacer, à chaque étape de son chemin, d'une unité vers la droite, ou vers le haut.
Combien de chemins peut-elle emprunter ?

Si $ a,b $ sont tels que $ a\geq b $, combien de chemins restant intégralement dans l'ensemble $ x\geq y $ mènent de $ (0,0) $ à $ (a,b) $ ?

Je changerai pas de méthode de résolution, en fait c'est la même situation avec un peu d'imagination
Précision : la première question nécessite que $ n\ge m $... la troisième nécessite que $ n \ge 2m $. Sinon ils vont forcément attendre !

SPOILER:

a) Modélisons la situation par une courbe ne passant que par des points de coordonnées entières : M représente les personnes ayant des billets de 10, N les personnes ayant des billets de 5. Quand on rencontre un N dans la série, la courbe d'étude passe de la case (a;b) à la case (a+1;b+1), quand on rencontre un M, elle passe de (a;b) à (a+1;b-1). Ainsi, la courbe part de (0;0), c'est le début de la file, a une longueur égale à m+n le nombre de personnes (une diagonale du carré d'unité du repère orthonormé dans lequel on se place équivalent à 1 unité de segment ici (et non à $ \sqrt{2} $, j'espère me faire comprendre ), monte n fois, descend m fois et de ce fait, s'arrête au point (m+n; n-m). La contrainte imposée dans l'exercice se résume au fait que le nombre total de M rencontré entre le début de la file et une personne déterminée ne doit jamais être supérieur au nombre de N rencontré dans cette même portion de file. Pour notre graphe, cela se traduit pas le fait que la courbe ne doit jamais passer par des points d'ordonnée (entière donc) strictement négative. Combien peut-on dénombrer de courbes passant un moment ou à un autre par des points d'ordonnées strictement négative ? Ce nombre est en fait égal au nombre de courbes allant de (1;-1) à (m+n;m-n). On peut en effet penser une telle association par un principe de réflexion (géométriquement c'est plus facile à comprendre). On a donc m-1 mouvements vers le bas à placer dans m+n "pas" de la courbe, soit $ \binom{m+n}{m-1} $ chemins passant par au moins un point d'ordonnée strictement négative. De plus, le nombre total de manières d'agencer des personnes dans la queue est de placer tous les M dans les M+N espaces, puis de remplir les trous restants avec des N, soit $ \binom{m+n}{m} $ manières.
En ce sens, il y a $ \binom{m+n}{m} - \binom{m+n}{m-1} $ manières de placer les gens dans la queue pour qu'il n'y ait pas d'attente, soit une probabilité de $ p=1- \frac{\binom{m+n}{m-1}}{\binom{m+n}{m}} $ de ne pas avoir d'attente.

b) Même modélisation, sauf que la courbe part du point (0;p). Même contrainte, même principe de réflexion : il ne faut pas que cette courbe passe par des points d'ordonnée strictement négative. Or le nombre de courbes partant de (0;p) et passant par des points d'ordonnée négative est égal au nombre de courbes partant de (p+1;-1-p) et arrivant à (m+n;n-m) : m-p-1 mouvements vers le haut à placer dans m+n mouvements soit $ \binom{m+n}{m-p-1} $ chemins inadéquats d'où $ \binom{m+n}{n} - \binom{m+n}{m-p-1} $ manières d'arranger la file sans attente, d'où $ p=1-\frac{\binom{m+n}{m-p-1}}{\binom{m+n}{m}} $.

c) Même modélisation, sauf qu'il ne faut pas que le nombre de personnes M rencontrées soit supérieur strictement au double du nombre de N rencontré. Donc le nombre d'arrangements de la file inadéquats ici est égal au double du nombre d'arrangements inadéquats en a) : donc $ 2\binom{m+n}{m-1} $ arrangements inadéquats ici, soit $ \binom{m+n}{m}-2\binom{m+n}{m-1} $ arrangements adéquats.
Donc une probabilité $ p=1-2\frac{\binom{m+n}{m-1}}{\binom{m+n}{n}} $ qu'il n'y ait pas d'attente.

wallissen a écrit :Bon ben mathophilie t'as la réponse de JeanN
Un taupin va souffrir ou s'amuser ( au choix ^^) demain à cause de toi

Soit x et y appartenant à N tels que $ 3x^2 + x = 4y^2 + y $. Montrer que $ x-y $ est un carré parfait

mathophilie a écrit :

wallissen a écrit :Bon ben mathophilie t'as la réponse de JeanN
Un taupin va souffrir ou s'amuser ( au choix ^^) demain à cause de toi

Si j'y suis parvenue, il va le torcher en 2 secondes

mathophilie a écrit :

wallissen a écrit :Bon ben mathophilie t'as la réponse de JeanN
Un taupin va souffrir ou s'amuser ( au choix ^^) demain à cause de toi

Si j'y suis parvenue, il va le torcher en 2 secondes

wallissen a écrit :

Soit x et y appartenant à N tels que $ 3x^2 + x = 4y^2 + y $. Montrer que $ x-y $ est un carré parfait

wallissen a écrit :

Soit x et y appartenant à N tels que $ 3x^2 + x = 4y^2 + y $. Montrer que $ x-y $ est un carré parfait