Exercices de MPSI

[Mykadeau]

Ben il faut que les lois soit commutatives et que l'une puisse développer l'autre ( je ne connais pas le terme)

[kakille]

il y a d'autres propriétés à vérifier : a+b+c n'est pas défini en général.

[Bidoof]

Soient $ a $ et $ b $ deux complexes fixés. Démontrer que : pour tout entier naturel $ n $, $ (a+b)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} a^k b^{n-k} $.

SPOILER:

$ (a+b)...(a+b) $ s'obtient un prenant un facteur a ou b dans chaque parenthèse. Pour un entier $ k $ plus petit ou égal à $ n $ si l'on prend $ k $ $ a $ cela signifie qu'on a pris aussi $ (n-k) $ $ b $ donc chaque terme du développement est de la forme $ a^{k} \times b^{n-k} $
Pour chaque terme du développement il y a autant de produit $ a^{k} \times b^{n-k} $ qu'il y a de manière de choisir les $ k $ parenthèse(s) où l'on prend les facteurs $ a $ parmi les $ n $ parenthèse(s).

[phibang]

Pas dur mais peut être intéressant d'y réfléchir concernant le binôme de Newton :
Est ce que ça marche aussi lorsque a et b sont des matrices carrées, des fonctions (je rappelle que si f et g sont définies sur un intervalle I, fg est définie pour tout x dans I par f(x)g(x) )?
Sur quel genre d'ensemble le binôme fonctionne t-il ? Quelle est / quelles sont la/les propriétés que doivent vérifier les éléments de l'ensemble ?

SPOILER:

A priori je ne vois pas pourquoi ça marcherais pas pour des fonctions à une variable... Mais pour les matrices, en prenant $ a=\begin{pmatrix}
1 &0 \\
0 & 0
\end{pmatrix} $ et $ b=\begin{pmatrix}
0 &1 \\
0 & 0
\end{pmatrix} $, on voit bien que $ (a+b)^2 \neq a^2+b^2+2ab $
Sinon, je dirais que ça ne marche que si a et b sont des applications vers $ \mathbb{C} $. Globalment, ça marche si c'est des "nombres" et pas un ensemble

Bien. La réponse est non pour les matrices. Pour les fonctions et bien ça dépend de l'ensemble d'arrivée : si c'est l'ensemble des réels ou des complexes ok mais si c'est l'ensemble des matrices ?
Bon alors des "nombres" ça veut rien dire :p on parle de l'ensemble des réels ou des complexes.
"Ça marche si ce n'est pas un ensemble" ?? Qu'entends tu par là ?

Oui ce que je voulais c'est bien la commutativité. Ensuite on peut effectivement rechercher toutes les propriétés qui doivent être vérifiées mais c'est plus dur de penser à tout et pour le coup hp (loi de composition interne)

[donnerwetter]

Déjà, rien que pour formuler le résultat, il faut deux lois de composition interne et il faut que cela ait un sens d'écrire a+b+c, a*b*c, 2016.a et d'autres choses comme ça.

Un recensement des propriétés qui doivent être vérifiées ?

Désolé j'ai jamais fait d'algèbre de ma vie, j'essaye juste de mettre des mots sur ce que j'observe

Il suffit que les lois de composition internes + et * soient commutatives et associatives, non ?

[donnerwetter]

Soient $ a $ et $ b $ deux complexes fixés. Démontrer que : pour tout entier naturel $ n $, $ (a+b)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} a^k b^{n-k} $.

SPOILER:

$ (a+b)...(a+b) $ s'obtient un prenant un facteur a ou b dans chaque parenthèse. Pour un entier $ k $ plus petit ou égal à $ n $ si l'on prend $ k $ $ a $ cela signifie qu'on a pris aussi $ (n-k) $ $ b $ donc chaque terme du développement est de la forme $ a^{k} \times b^{n-k} $
Pour chaque terme du développement il y a autant de produit $ a^{k} \times b^{n-k} $ qu'il y a de manière de choisir les $ k $ parenthèse(s) où l'on prend les facteurs $ a $ parmi les $ n $ parenthèse(s).

Très joli, j'ai vu ça sur wikipédia et je suis resté sous le choc de voir que que la formule était en fait si "naturelle".

[mathophilie]

Mathophilie elle est en mode "pffff, trivial"

Du tout, du tout il était juste une heure du mat

Soient $ a $ et $ b $ deux complexes fixés. Démontrer que : pour tout entier naturel $ n $, $ (a+b)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} a^k b^{n-k} $.

SPOILER:

$ (a+b)...(a+b) $ s'obtient un prenant un facteur a ou b dans chaque parenthèse. Pour un entier $ k $ plus petit ou égal à $ n $ si l'on prend $ k $ $ a $ cela signifie qu'on a pris aussi $ (n-k) $ $ b $ donc chaque terme du développement est de la forme $ a^{k} \times b^{n-k} $
Pour chaque terme du développement il y a autant de produit $ a^{k} \times b^{n-k} $ qu'il y a de manière de choisir les $ k $ parenthèse(s) où l'on prend les facteurs $ a $ parmi les $ n $ parenthèse(s).

Joli !

[PiCarréSurSix]

Ça me fait marrer, j'avais posé la même question à mon prof de spé avec le binôme et les matrices il y a pas longtemps et il m'a dit "bah cherche une démonstration" et j'en étais bien arrivé à la même conclusion

[symétrie]

Je reposte un problème que j'avais posé il y a quelques temps et qui n'avait pas fait délirer les foules. Pourtant moi je l'aime vraiment bien.

Voici un très joli problème sur lequel je suis tombé il y a peu.

Une compagnie ferroviaire russe propose de transporter des colis qui ont la forme de pavés (toujours supposés droits). Une condition toutefois : les colis ne doivent pas être trop gros. La contrainte n'est pas sur le volume, mais sur la somme des dimensions : la somme de la longueur, plus la largeur, plus l'épaisseur ne doit pas dépasser 1 mètre. On se pose la question suivante : étant donné une boîte illégale, est-il possible de l'inclure dans une boîte légale ?

On va montrer que la réponse est non (on peut commencer par tenter de le faire par soi-même pour constater que ça n'est pas évident). Étant donné un pavé $ A $, on note $ V(r) $ le volume de l'ensemble constitué des points P de l'espace tels qu'il existe un point Q de $ A $ avec $ PQ \leq r $. À quoi ressemble l'ensemble des tels points P pour un pavé ? Calculer $ V(r) $ pour un pavé. En déduire la solution au problème.

[phibang]

Parce que tu as utilisé la commutativité alors qu'il n'y en a pas.
La faute arrive hyper vite parce qu'on est trop habitué à manipuler des objets de R ou de C, qui se comportent très bien.