Exercices de MPSI

[mathophilie]

car il y a symétrie centrale des couleurs.

Ah
Pourquoi ? (dans le cas général)

D'ailleurs, Siméon, tu m'avais dit qu'on pouvait démontrer rigoureusement (au sens de mathématiquement, sans les mots) la remarque à faire, mais comment

[Siméon]

mathophilie fait sa maligne mais elle n'a pas réussi à donner un argument parfaitement rigoureux non plus

Un joli exercice de JC_Maths :

Soit $ n,k $ deux entiers naturels avec $ k $ impair. Montrer que $ 1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k $ est divisible par $ 1 + 2 + 3 + \cdots + n $.

[mathophilie]

mathophilie fait sa maligne mais elle n'a pas réussi à donner un argument parfaitement rigoureux non plus

Un joli exercice de JC_Maths :

Soit $ n,k $ deux entiers naturels avec $ k $ impair. Montrer que $ 1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k $ est divisible par $ 1 + 2 + 3 + \cdots + n $.

On a même plus le droit de s'amuser

[Siméon]

Bah si, c'est bien pour ça que je redonne un exercice

[Jean Bonbeur]

car il y a symétrie centrale des couleurs.

Ah
Pourquoi ? (dans le cas général)

Eh bien, je suppose que ça à quelque chose à voir avec la divisibilité...non?
Quelque chose comme : pour tout p non premier, il existera toujours une symétrie centrale de couleurs suivant certains n.
En fait je sais pas l'exprimer correctement.

[Siméon]

D'ailleurs, Siméon, tu m'avais dit qu'on pouvait démontrer rigoureusement (au sens de mathématiquement, sans les mots) la remarque à faire, mais comment

Le vocabulaire approprié est celui des groupes, comme je te l'ai déjà dit, mais on peut tout de même bricoler quelque chose au niveau terminale :

Soit $ x $ un disque à $ p $ secteurs réguliers coloriés. Pour tout $ k $, on note $ r^k(x) $ le disque colorié obtenu par rotation d'angle $ \dfrac{2\pi k}{p} $.
Montrer que si $ p $ est premier, alors l'ensemble des $ r^k(x) $ pour $ k \in \mathbb N $ ne peut avoir que $ 1 $ ou $ p $ éléments.

(Plus généralement, le nombre de disques obtenus par rotation est un diviseur de $ p $.)

Indication :

SPOILER:

On pourra utiliser l'exercice suivant (ou s'en inspirer) : http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... 26#p725326

[Mykadeau]

Soit $ x $ un disque à $ p $ secteurs réguliers coloriés. Pour tout $ k $, on note $ r^k(x) $ le disque colorié obtenu par rotation d'angle $ \dfrac{2\pi k}{p} $.
Montrer que si $ p $ est premier, alors l'ensemble des $ r^k(x) $ pour $ k \in \mathbb N $ ne peut avoir que $ 1 $ ou $ p $ éléments.

Cela me parait bizarre non? Cela signifie que pour tout k, la rotation équivaut à un nombre entier de rotation de $ 2\pi $ soit pour tout k $ \dfrac{k}{p} $ est entier, donc p divise tout les entiers naturels, mais alors p=1 et p n'est donc pas premier?

[JeanN]

Sur une suggestion de Siméon
Soit n un entier naturel non nul et k un entier naturel impair.
Montrer que 1+2+...+n divise $ 1^k+2^k+....+n^k $

[Siméon]

Mykadeau, je ne comprends pas ce que tu entends par « la rotation équivaut à un nombre entier de rotation ». Pour clarifier, l'ensemble qui ne peut avoir que $ 1 $ ou $ p $ éléments est l'ensemble des disques obtenus par rotation à partir du disque $ x $, c'est à dire $ \{r^k(x) \mid k \in \mathbb N\} $.

JeanN : j'ai déjà donné l'énoncé de JC_Math à la page précédente

[Mykadeau]

Pour moi, si il n'existe q'une seule rotation possible, il s'agit de la rotation nulle ( j'entends par la que cette rotation nous ramène au point de depart) c'est à dire une rotation de l'ordre de $ 2\pi q $avec q un entier. D'où mon raisonnement. Mais je n'ai sans doute pas tout compris