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mathophilie a écrit :

Un pett exercice pour ne pas flooder complètement :
Résoudre dans $ \mathbb{Z}^3 $ l'équation $ x^2+y^2=7z^2 $

SPOILER:

(0;0;0) est solution. On suppose maintenant que les inconnues ne sont pas simultanément nulles. L'équation nous donne $ x^2+y^2 $ divisible par 7. En regardant les congruences des carrés modulo 7 (qui valent soit 0,1,2,4) on en déduit que x et y sont tous les deux des multiples de 7. On trouve donc $ 49k^2 + 49k'^2 = 7z^2$ , soit $7(k^2+k'^2)=z^2 $. d'où z divisible par 7. Ainsi donc on retombe sur une nouvelle équation : $ k^2 + k'^2 = 7k''^2 $. En fait, on peut faire tourner ce processus autant qu'on le veut, il adviendra nécessairement un moment ou les k, k' et k'' ne seront tous plus divisible par 7. On en déduit donc que la seule solution est (0;0;0).

Très bien! La méthode que tu as employée s'appelle la méthode dite de "descente infinie", historiquement introduite par Euclide, qui consiste à construire par l'absurde une suite strictement décroissante d'entiers naturels (ici ce sont les k que tu crées à l'aide de ton "processus", comme tu divises à chaque fois par 7 et qu'ils sont non nuls, tu obtiens un nouveau k strictement plus petit à chaque étape. Ou alors tu peux considérer la suite des valuations 7-adiques qui est elle même une suite d'entiers naturels strictement décroissante, pour insister sur ton argument de divisibilité). Et une telle suite n'existe pas à cause d'un axiome des entiers naturels: toute partie non vide de \mathbb{N} admet un plus petit élément.

mathophilie a écrit :Par contre je ne savais pas ce qu'était une valuation p-adique

Syl20 a écrit :Ca s'explique mieux evec les mains je trouve

Soit $ n,k $ deux entiers naturels avec $ k $ impair. Montrer que $ 1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k $ est divisible par $ 1 + 2 + 3 + \cdots + n $.

darklol a écrit :

mathophilie a écrit :

Un pett exercice pour ne pas flooder complètement :
Résoudre dans $ \mathbb{Z}^3 $ l'équation $ x^2+y^2=7z^2 $

SPOILER:

(0;0;0) est solution. On suppose maintenant que les inconnues ne sont pas simultanément nulles. L'équation nous donne $ x^2+y^2 $ divisible par 7. En regardant les congruences des carrés modulo 7 (qui valent soit 0,1,2,4) on en déduit que x et y sont tous les deux des multiples de 7. On trouve donc $ 49k^2 + 49k'^2 = 7z^2$ , soit $7(k^2+k'^2)=z^2 $. d'où z divisible par 7. Ainsi donc on retombe sur une nouvelle équation : $ k^2 + k'^2 = 7k''^2 $. En fait, on peut faire tourner ce processus autant qu'on le veut, il adviendra nécessairement un moment ou les k, k' et k'' ne seront tous plus divisible par 7. On en déduit donc que la seule solution est (0;0;0).

Très bien! La méthode que tu as employée s'appelle la méthode dite de "descente infinie", historiquement introduite par Euclide, qui consiste à construire par l'absurde une suite strictement décroissante d'entiers naturels (ici ce sont les k que tu crées à l'aide de ton "processus", comme tu divises à chaque fois par 7 et qu'ils sont non nuls, tu obtiens un nouveau k strictement plus petit à chaque étape. Ou alors tu peux considérer la suite des valuations 7-adiques qui est elle même une suite d'entiers naturels strictement décroissante, pour insister sur ton argument de divisibilité). Et une telle suite n'existe pas à cause d'un axiome des entiers naturels: toute partie non vide de $ \mathbb{N} $ admet un plus petit élément.