Exercices de MPSI

[Mykadeau]

Dans le meme genre montrer qu'un sous ensemble de R est fermé ssi c'est le lieu d'annulation d'une fonction continue.

Je dis sans doute une bêtise ( l'exo n'est sans doute pas fait pour moi) mais la fonction identité est continue et pourtant elle s'annule sur $ ]-1;1[ $ Non ? Ou alors je n'ai pas compris ce que l'on entend par lieu d'annulation

[symétrie]

Le lieu d'annulation, c'est juste l'ensemble des points où elle s'annule. Mais ne t'inquiète pas, cet exo est pas vraiment fait pour toi.

[Mykadeau]

Ah oui donc la c'est juste 0, ceci explique cela

[Syl20]

Le lieu d'annulation, c'est juste l'ensemble des points où elle s'annule. Mais ne t'inquiète pas, cet exo est pas vraiment fait pour toi.

Et la fonction nulle du coup ? Elle s'annule sur R mais R est ouvert non ? (je dois dire des bêtises là )

[Mykadeau]

Le lieu d'annulation, c'est juste l'ensemble des points où elle s'annule. Mais ne t'inquiète pas, cet exo est pas vraiment fait pour toi.

Et la fonction nulle du coup ? Elle s'annule sur R mais R est ouvert non ? (je dois dire des bêtises là )

Je crois que R est à la fois ouvert et fermé (fin dans R).

[symétrie]

Il est fermé aussi. Mais franchement ne cherchez pas trop loin, fermé ne veut pas ici dire intervalle fermé, pour la définition allez voir sur Wikipédia ou attendez la spé.

D'ailleurs : https://www.youtube.com/watch?v=SyD4p8_y8Kw (/!\ attention, c'est en anglais les sous-titres /!\)

[Mykadeau]

Il est fermé aussi. Mais franchement ne cherchez pas trop loin, fermé ne veut pas ici dire intervalle fermé, pour la définition allez voir sur Wikipédia ou attendez la spé.

D'ailleurs : https://www.youtube.com/watch?v=SyD4p8_y8Kw (/!\ attention, c'est en anglais les sous-titres /!\)

Merci

[Jio15]

Dans le meme genre montrer qu'un sous ensemble de R est fermé ssi c'est le lieu d'annulation d'une fonction continue.

Un des sens est trivial (l'image réciproque du fermé {0} par une application continue est un fermé), pour l'autre on considère juste l'application qui à x associe la distance de x à notre fermé, c'est-à-dire la borne inférieure des distances : cette fonction est 1-lipschitzienne donc continue, et vu qu'on a un fermé si la distance est nulle c'est bien qu'on est dans le fermé

D'ailleurs se restreindre à R c'est un peu bête, ça marche dans n'importe quel espace métrique
(le résultat vaut-il toujours dans un espace topologique quelconque ?) (une fonction est continue dans un espace topologique ssi l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert)

(je pense qu'il y a des hypothèses sur l'espace, il faut peut-être qu'il soit séparé ou T3 ou un truc du genre)

[symétrie]

Sauf erreur, sur $ \{0, 1\} $ avec l'ensemble vide, $ \{0, 1\} $ et $ \{0\} $ comme fermés, ça marche pas : si $ f \colon \{0, 1\} \to \R $ est continue et $ f^{-1}(0) = \{0\} $, alors $ f(0) = 0 $ et $ f(1) \neq 0 $, donc si on prend l'image réciproque d'un intervalle fermé contenant $ f(1) $ mais pas 0, on obtient $ \{1\} $ qui n'est pas fermé.

[Coryllis]

Trouver une fonction de R dans R telle que l'image de tout intervalle ouvert soit R tout entier.

Il y par exemple la fonction "base 13" de Conway, mais j'ai du mal à imaginer un TS la construire

Histoire de donner une fonction simple, qui utilise de l'algèbre linéaire donc pas du tout adapté aux TS mais sympa pour les MPSI :

SPOILER:

On choisit une $ \mathbb{Q} $-base $ \mathcal{B} $ de $ \mathbb{R} $. Comme $ \mathbb{R} $ n'est pas de dimension finie sur $ \mathbb{Q} $, il existe des applications $ f\colon\mathcal{B}\rightarrow\mathcal{B} $ surjectives, mais non injectives.

Bon du coup on peut facilement prolonger ça en un endomorphisme f de $ \R $ surjectif et non injectif, et comme son noyau contient une droite de la forme $ x\mathbb{Q} $, il est dense dans $ \mathbb{R} $.

Y a plus qu'à prouver que f convient : soient I un intervalle ouvert, et y un réel. On choisit r tel que y=f(r) (surjectivité de f), et $ t\in\mathrm{Ker}(f) $ tel que r+t soit dans I (densité du noyau). On a bien $ y=f(r+t)\in f(I) $, et $ f(I)=\mathbb{R} $.

Bref, tu as un exemple plus simple du coup, ou tu pensais à la fonction de Conway ?