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Zetary a écrit : Dans le meme genre montrer qu'un sous ensemble de R est fermé ssi c'est le lieu d'annulation d'une fonction continue.

Je dis sans doute une bêtise ( l'exo n'est sans doute pas fait pour moi) mais la fonction identité est continue et pourtant elle s'annule sur $ ]-1;1[ $ Non ? Ou alors je n'ai pas compris ce que l'on entend par lieu d'annulation

Le lieu d'annulation, c'est juste l'ensemble des points où elle s'annule. Mais ne t'inquiète pas, cet exo est pas vraiment fait pour toi.

Ah oui donc la c'est juste 0, ceci explique cela

symétrie a écrit :Le lieu d'annulation, c'est juste l'ensemble des points où elle s'annule. Mais ne t'inquiète pas, cet exo est pas vraiment fait pour toi.

Et la fonction nulle du coup ? Elle s'annule sur R mais R est ouvert non ? (je dois dire des bêtises là )

Syl20 a écrit :

symétrie a écrit :Le lieu d'annulation, c'est juste l'ensemble des points où elle s'annule. Mais ne t'inquiète pas, cet exo est pas vraiment fait pour toi.

Et la fonction nulle du coup ? Elle s'annule sur R mais R est ouvert non ? (je dois dire des bêtises là )

Je crois que R est à la fois ouvert et fermé (fin dans R).

Il est fermé aussi. Mais franchement ne cherchez pas trop loin, fermé ne veut pas ici dire intervalle fermé, pour la définition allez voir sur Wikipédia ou attendez la spé.

D'ailleurs : https://www.youtube.com/watch?v=SyD4p8_y8Kw (/!\ attention, c'est en anglais les sous-titres /!\)

symétrie a écrit :Il est fermé aussi. Mais franchement ne cherchez pas trop loin, fermé ne veut pas ici dire intervalle fermé, pour la définition allez voir sur Wikipédia ou attendez la spé.

D'ailleurs : https://www.youtube.com/watch?v=SyD4p8_y8Kw (/!\ attention, c'est en anglais les sous-titres /!\)

Merci

Zetary a écrit :Dans le meme genre montrer qu'un sous ensemble de R est fermé ssi c'est le lieu d'annulation d'une fonction continue.

Un des sens est trivial (l'image réciproque du fermé {0} par une application continue est un fermé), pour l'autre on considère juste l'application qui à x associe la distance de x à notre fermé, c'est-à-dire la borne inférieure des distances : cette fonction est 1-lipschitzienne donc continue, et vu qu'on a un fermé si la distance est nulle c'est bien qu'on est dans le fermé

D'ailleurs se restreindre à R c'est un peu bête, ça marche dans n'importe quel espace métrique
(le résultat vaut-il toujours dans un espace topologique quelconque ?) (une fonction est continue dans un espace topologique ssi l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert)

(je pense qu'il y a des hypothèses sur l'espace, il faut peut-être qu'il soit séparé ou T3 ou un truc du genre)

Sauf erreur, sur $ \{0, 1\} $ avec l'ensemble vide, $ \{0, 1\} $ et $ \{0\} $ comme fermés, ça marche pas : si $ f \colon \{0, 1\} \to \R $ est continue et $ f^{-1}(0) = \{0\} $, alors $ f(0) = 0 $ et $ f(1) \neq 0 $, donc si on prend l'image réciproque d'un intervalle fermé contenant $ f(1) $ mais pas 0, on obtient $ \{1\} $ qui n'est pas fermé.

Zetary a écrit : Trouver une fonction de R dans R telle que l'image de tout intervalle ouvert soit R tout entier.

Il y par exemple la fonction "base 13" de Conway, mais j'ai du mal à imaginer un TS la construire

Histoire de donner une fonction simple, qui utilise de l'algèbre linéaire donc pas du tout adapté aux TS mais sympa pour les MPSI : Bref, tu as un exemple plus simple du coup, ou tu pensais à la fonction de Conway ?