Exercices de MPSI

[Mykadeau]

Plutôt qu'un contre exemple on pourrait pas montrer l'équivalence entre la proposition et "x^3 est rationnel" puis là y a des contre exemples qu'évident? Je sais pas trop si ça marche mais au feeling..

Il y en a un évident oui

[donnerwetter]

Jio : c'est marrant j'aurais pas pensé à Bézout comme ça, en tout cas pas immédiatement - du coup tu aurais peut-être dû me laisser chercher ^^
On montre du coup que l'assertion "a et b sont premiers entre eux" équivaut à "il existe u, v dans Z tels que $ ((x^{a})^{u}(x^{b})^v=x $" et donc au fait qu'on puisse revenir à x.

[Zetary]

D'après wiki un espace où tout fermé est lieu d'annulation d'une fonction continue est appelé espace parfaitement normal (ou $ T_{5\: 1/2} $)

Sinon pour la fonction qui envoie tout intervalle ouvert sur R (sans la Q-base et son axiome du choix) :

SPOILER:

On construit d'abord une bijection entre ]0;1[ et R par exemple $ x \mapsto (1+th(x))/2 $ puis à un nombre ecrit en base 3 on associe :

1/2 si son ecriture est finie ou comporte un nombre infini de 2

Sinon, à partir du rang du dernier 2, il n'y a plus que des 0 et des 1, qu'on interprète comme un réel de ]0;1[ en base 2 qui sera l'image par la fonction

Enfin on compose par la réciproque de la bijection précédente: on vérifie bien que l'image réciproque de tout singleton est dense dans R donc l'image de tout intervalle ouvert est R.

[Jio15]

D'après wiki un espace où tout fermé est lieu d'annulation d'une fonction continue est appelé espace parfaitement normal (ou $ T_{5\: 1/2} $)

Sinon pour la fonction qui envoie tout intervalle ouvert sur R (sans la Q-base et son axiome du choix) :

SPOILER:

On construit d'abord une bijection entre ]0;1[ et R par exemple $ x \mapsto (1+th(x))/2 $ puis à un nombre ecrit en base 3 on associe :

1/2 si son ecriture est finie ou comporte un nombre infini de 2

Sinon, à partir du rang du dernier 2, il n'y a plus que des 0 et des 1, qu'on interprète comme un réel de ]0;1[ en base 2 qui sera l'image par la fonction

Enfin on compose par la réciproque de la bijection précédente: on vérifie bien que l'image réciproque de tout singleton est dense dans R donc l'image de tout intervalle ouvert est R.

Ah oui, bien vu, j'avais eu des idées du genre avec les décimales mais le fait de mettre des 2 """inutiles""" au départ permet de "densifier" proprement, ce à quoi je n'avais pas pensé. Merci beaucoup (et aussi merci pour ces histoires de T5 1/2 ^^)
(t'as l'air bien bien pêchu pour un sup hein, j'suis pressé de voir tes résultats aux concours l'ami)

(comme quoi, viser un axiome de séparation comme hypothèse minimale était une bonne intuition, la prochaine fois je penserai à aller voir la page "axiome de séparation" tout seul comme un grand ^^)

(Question annexe : existe-t-il un moyen de voir si un espace est métrique juste en regardant les propriétés de sa topologie ?)

[TryHarder]

Bonjour bonjour !

Petit exercice intéressant qui m'est passé sous la main et qui pourrait vous distraire un peu !
Montrer que pour n un entier naturel supérieur ou égal à 2 , n! est inférieur ou égal à ((n+1)/2)^n

[donnerwetter]

Bonjour bonjour !

Petit exercice intéressant qui m'est passé sous la main et qui pourrait vous distraire un peu !
Montrer que pour n un entier naturel supérieur ou égal à 2 , n! est inférieur ou égal à ((n+1)/2)^n

Sympa en effet !

SPOILER:

On pose $ m=\frac{n+1}{2}. $ L'idée est d'écrire l'inéquation sous la forme $ 1*2*3...*n \leq m*m*...*m. $
Deux cas : si n est impair m se simplifie une fois. En remarquant que $ 1*n, 2*(n-1), ..., (m-1)(m+1) $ i.e.(m-(m-1))*(m+(m-1)), (m-(m-2))*(m+(m-2)), ..., (m-1)(m+1)$ \leq m*m $ on en déduit le résultat par produit des n/2 inéquations.
Si n est pair on remarque cette fois que $ 1*n, 2*(n-1), ..., (m-0,5)(m+0,5) \leq m*m $, d'où le résultat en multipliant les n/2 inéquations.

[Bidoof]

Bonjour bonjour !

Petit exercice intéressant qui m'est passé sous la main et qui pourrait vous distraire un peu !
Montrer que pour n un entier naturel supérieur ou égal à 2 , n! est inférieur ou égal à ((n+1)/2)^n

SPOILER:

On a $ (2 < \frac{9}{4}) $
Supposons le résultat vrai pour un certain $ n $ de $ \mathbb{N}_{\ge 3} $ et :
$ n! \le (\frac{n+1}{2})^{n} \Rightarrow (n+1)! \le 2(\frac{n+1}{2}) (\frac{n+1}{2})^{n} = 2 (\frac{n+1}{2})^{n+1} $ $ \le (\frac{n+2}{n+1})^{n+1} (\frac{n+1}{2})^{n+1} = (\frac{n+2}{2})^{n+1} $

[Zetary]

On note S une suite finie de mouvements sur un Rubik's cube (rotation des faces ou du cube)
Montrer qu'à partir du cube terminé, il existe un entier n non nul tel qu'en appliquant n fois la séquence S au cube on retombe sur la position initiale (cube terminé)

Montrer aussi que le plus petit n qui convient est un diviseur du nombre total de configurations quon peut atteindre sur le cube (qu'on ne demande pas de calculer ^^)

Une bonne introduction selon moi a la théorie des groupes

[apzoeiruty3]

On note S une suite finie de mouvements sur un Rubik's cube (rotation des faces ou du cube)
Montrer qu'à partir du cube terminé, il existe un entier n non nul tel qu'en appliquant n fois la séquence S au cube on retombe sur la position initiale (cube terminé)

Montrer aussi que le plus petit n qui convient est un diviseur du nombre total de configurations quon peut atteindre sur le cube (qu'on ne demande pas de calculer ^^)

Une bonne introduction selon moi a la théorie des groupes

C'est un peu difficile pour un terminal non ^^ ?

[Jio15]

On note S une suite finie de mouvements sur un Rubik's cube (rotation des faces ou du cube)
Montrer qu'à partir du cube terminé, il existe un entier n non nul tel qu'en appliquant n fois la séquence S au cube on retombe sur la position initiale (cube terminé)

Montrer aussi que le plus petit n qui convient est un diviseur du nombre total de configurations quon peut atteindre sur le cube (qu'on ne demande pas de calculer ^^)

Une bonne introduction selon moi a la théorie des groupes

C'est à la fois beaucoup trop difficile pour un Terminale et beaucoup trop facile pour un spé. C'est juste une reformulation de théorèmes du cours, il n'y a pas vraiment moyen de susciter l'intérêt de term.
Encore que si on oublie le problème de la divisibilité c'est assez simple : il y a un nombre fini de configurations donc il existe forcément deux entiers m<l tels que appliquer S m fois et l'appliquer l fois revient au même, et alors en simplifier par S^m on a le résultat, mais c'est pas drôle du tout de donner ça à un Terminale, il ne va pas s'amuser.
(pour la divisibilité on peut avancer que le groupe engendré par S forme un ssgp du groupe de toutes les transformations du cube qui sont aussi nombreuses qu'il y a de configurations puis appliquer Lagrange, mais ça n'a aucun intérêt de dire ça à des terminales)

Vrai exo de terminale : montrer que la loi exponentielle est la seule loi à densité sur $ \mathbb{R}^{+} $ telle que :
1) la densité soit dérivable
2) la loi soit sans mémoire