Exercices de MPSI

[Syl20]

Vrai exo de terminale : montrer que la loi exponentielle est la seule loi à densité telle que :
1) la densité soit dérivable
2) la loi soit sans mémoire

Comment tu dérives ta densité en 0 ?

[Jio15]

Vrai exo de terminale : montrer que la loi exponentielle est la seule loi à densité telle que :
1) la densité soit dérivable
2) la loi soit sans mémoire

Comment tu dérives ta densité en 0 ?

On sait dériver $ \lambda e^{-\lambda x} $ en Terminale il me semble
(edit : je précise que je veux que les variables suivant la loi doivent être positives si c'est ça ta remarque)

[Syl20]

Vrai exo de terminale : montrer que la loi exponentielle est la seule loi à densité telle que :
1) la densité soit dérivable
2) la loi soit sans mémoire

Comment tu dérives ta densité en 0 ?

On sait dériver $ \lambda e^{-\lambda x} $ en Terminale il me semble

Fin la densité n'est pas continue en 0, à partir de là je vois difficilement comment tu peux la dériver

[Jio15]

Pour moi, la densité n'est définie que sur R+, mais si tu tiens à l'avoir nulle sur R-*, alors disons dérivable sur R+* et dérivable à droite en 0, mais c'est du fourrage de mouches comme on n'en fait pas (et puis tout le monde s'en fiche dans la vraie vie de la valeur d'une densité de probabilité en un seul point ; un singleton étant de mesure nulle...)

(Car tu t'en doutes, on aura une sorte d'équadiff, et ça n'a aucun sens de se préoccuper de ce qui se passe en dehors de ]0,+infini[, c'est là-dedans qu'il faudra la résoudre)

(je ne suis pas sûr d'ailleurs que définir des densités discontinues en Terminale soit une bonne idée, puisqu'on ne parle que d'intégrales de fonctions continues dans le programme il me semble, et puis je ne comprends pas l'intérêt d'exiger que les densités soient définies sur R entier, de mémoire on ne l'avait définie que sur R+ ce qui est un choix judicieux)

Si tu veux un énoncé propre (mais du coup il parait abstrait...) :

Trouver toutes les fonctions $ f $ de $ \mathbb{R}^+ $ dans $ \mathbb{R}^+ $ continues vérifiant :
1) $ \int_0^{+\infty}f(t)dt = 1 $
2) $ \forall b \in \mathbb{R}^+, \forall a \in \mathbb{R}^+, b>a \Rightarrow \int_b^{+\infty} f(t) dt = ( \int_a^{+\infty} f(t) dt ) $$ ( \int_{b-a}^{+\infty} f(t) dt ) $

Alors si vous voulez rendre tout ça plus propre en terme d'hypothèses, posez $ g(x)=1-\int_{0}^x f(t)dt $, puis voyez ce que vous pouvez dire de $ g $...

(EDIT : en fait j'ai refait les calculs et ça marche très bien avec juste f continue, je sais pas pourquoi mais j'avais fait cet exo en term et j'avais dû dériver f. Je m'y étais probablement pris comme un pied)

[lionel52]

On écrit souvent que la densité de la loi exponentielle est :

$ p(x) = \lambda e^{-\lambda x} 1_{x \geq 0} $

C'est important de définir les densités sur R tout entier

[Jio15]

C'est important de définir les densités sur R tout entier

Et pourquoi donc ? Je me souviens d'un DM de Terminale où au lieu de R, on avait des fonctions définies sur un carré de côté 1 et d'intégrale valant 1 sur ce carré et on calculait (avec un Fubini primitif) les intégrales de la fonction sur des parties de ce carré pour déterminer la probabilité de certains événements (en l'occurrence c'était la probabilité que deux gugusses qui s'étaient fixés un rendez-vous et qui arrivaient avec une avance ou un retard aléatoire en restant sur place pendant un nombre fixé de minutes se croisent). Si on peut généraliser le concept de densité à un carré de côté 1, pourquoi on peut pas le faire avec $ \mathbb{R}^+ $ ? En quoi c'est "important" de lui donner une valeur sur $ \mathbb{R} $ entier si jamais les variables suivant cette loi ne prennent de toute façon que des valeurs positives ?
(Bon, ce débat ne sert pas à grand chose vu que c'est un débat de définition, mais je ne comprends vraiment pas pourquoi conceptuellement ça gêne d'avoir une densité sur $ \mathbb{R}^+ $ uniquement... en mécanique quantique par exemple on voit des densités de probabilité $ |\psi|^2 $ sur des sphères en 3D et ça n'est pas une généralisation moins surprenante que de choisir $ \mathbb{R}^+ $ comme espace de référence)

[lionel52]

Dès que tu veux faire des opérations sur ta variable aléatoire ou des mélanges avec d'autres variables définies pas forcément sur R+, dès que tu parles de fonction de répartition etc c'est quand même plus commode d'avoir une densité définie partout

En l'occurrence je viens de checker, sur tous les sites internet la loi expo est définie aussi sur R-, où elle est nulle !

[Jio15]

Dès que tu veux faire des opérations sur ta variable aléatoire (...)

Dans ce cas là on abandonne complètement le concept de fonction caractéristique. Rends-toi compte : on part d'une variable à valeurs réelles et on arrive dans C, c'est incroyable. On devrait d'office définir toutes les variables dans C.

En l'occurrence je viens de checker, sur tous les sites internet la loi expo est définie aussi sur R-, où elle est nulle !

À vrai dire, je suis d'avis qu'on prend la définition qu'on veut. Si tu veux dire d'une variable qui ne prend que des valeurs entières qu'elle est à valeurs dans C, ça n'est pas gênant et ça peut même être pratique, mais si je lui donne le même nom et que je dis qu'elle arrive dans Z, c'est mon droit aussi et ni toi ni moi n'avons tort.
En fait je ne dis pas qu'on ne peut pas la définir dans R entier, ni même qu'on ne doit pas le faire, même si à mon avis définir une densité non continue c'est demander aux terminales d'avoir une compréhension de l'intégrale bien supérieure à ce qu'on leur enseigne (attention, je parle bien des terminales et uniquement des terminales). Ce que je dis c'est que dans le cadre de cet exo, si on ne veut pas s'embêter avec 0, on n'a qu'à considérer qu'elle est définie sur R+.

Je n'ai pas envie de débattre dans une atmosphère triste et qui ennuie tout le monde, alors pour faire revenir la bonne humeur je propose qu'on s'écoute tous dans notre coin notre chanson préférée et qu'on passe à autre chose, tant pis pour mon exo.

[lionel52]

Non mais pour ton exo ok laisse sur R+, je le dis juste pour toi, on définit la plupart du temps la loi exponentielle comme je l'ai écrite (et te sens pas agressé, je comptais pas débattre, je te dis juste pourquoi en proba on fait ça )


D'ailleurs dans le célèbre cours de proba de 1ere année à ULM ils font la même
https://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&q= ... 3897,d.d2s

(pages 98-100)

[Jio15]

D'ailleurs dans le célèbre cours de proba de 1ere année à ULM ils font la même
https://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&q= ... 3897,d.d2s

(pages 98-100)

Cf mon message précédent : je n'ai pas dit que c'était mal, je pense même que dans l'absolu c'est bien parce que c'est plus général, mais pas avec la compréhension qu'a un élève lambda de Terminale de ce qu'est une intégrale. Pédagogiquement leur parler de fonction indicatrice c'est déjà leur faire peur pour rien.
Le programme ne dit rien là dessus dans le cas de la loi exponentielle et ne parle même pas d'intégrale mais "d'aire d'un domaine" pour définir les lois à densité... Par contre quand on regarde des exemples de cours de Terminale voilà ce qu'on voit :

La loi exponentielle de paramètre λ (ou loi de durée de vie sans vieillissement) a pour densité de probabilité la fonction $ f $ définie pour tout réel positif par : $ f(t)=\lambda e^{- \lambda t} $

Mais si on part dans des questions de pédagogie, je n'ai nullement l'intention de me faire l'avocat de l'infâme programme de Terminale, donc je pense qu'on peut arrêter le débat là. J'aimerais simplement que tu comprennes que je suis tout sauf prescriptiviste : je pense que toute définition qui a un sens est une définition valide, ce qui est le meilleur moyen de rendre naturelles les généralisations (cf l'exemple des fonctions d'onde, mais aussi le fait de rajouter des zéros sur R-* pour la loi exponentielle pour inscrire ce cas particulier dans un contexte plus général).