Exercices de MPSI

[Jio15]

Un peu bizarre ta réponse Jio de sortir un sujet d'ENS des années 80 pour répondre à un truc standard en maths ...

Le sujet démontre qu'il n'existe pas de primitive de exp(x²) qu'on puisse exprimer avec les fonctions usuelles et les opérateurs somme, produit et composée (Sujet extraordinaire par ailleurs)

SPOILER:

On est censé obtenir $ \sum_{n\geq 0} \frac{(-4)^n n!}{(2 n+1)!} x^{2 n +1} e^{x^2} $ comme primitive ? Le sujet nous fait vite fait croire que ce sera une primitive simple, d'où ma remarque précédente.

[spemaths]

Je sais bien mais

1) on est sur un topic d'exo pré-rentrée MPSI
2) c'est un résultat ultra connu et standard c'est pas le sujet de l'ENS qui a inventé ça
3) tu aurais pu filer un lien wikipedia

[~Syna~]

Et y a pas que des Term qui lisent le topic, le sujet est bien (donc si ça peut servir à certains...), et le résultat y est, je vois pas bien le problème...

[Jio15]

1) on est sur un topic d'exo pré-rentrée MPSI

Si je suis de mauvaise foi, dans ce cas je te demande ce que vient faire un exo sur des séries ici ? :p (d'autant plus qu'il ne prévient pas qu'il y aura des séries ^^)

2) c'est un résultat ultra connu et standard c'est pas le sujet de l'ENS qui a inventé ça
3) tu aurais pu filer un lien wikipedia

La preuve est plutôt difficile à trouver je trouve. Le résultat est mentionné quelquefois rapidement (comme ici où il apparaît brièvement au cours d'une phrase, sans source) mais le moyen le plus simple de trouver la preuve est de chercher le corrigé de l'épreuve d'ENS ^^ (ou de se fier à cette preuve ou à d'autres, mais j'aime bien quand une preuve est découpée en étapes claires, ce qui est toujours le cas dans les sujets de concours).

J'ai surtout posté ça pour que personne n'essaye de trouver une primitive explicite, en signalant que ça n'est pas possible.

[Siegfried]

Pour les courageux http://gallica.bnf.fr/m/ark:/12148/bpt6 ... A8F340CDFC

Et encore plus facile à trouver http://math.stackexchange.com/questions ... m-integral

[Jio15]

Super tes liens Siegfried (surtout le deuxième, parce que bon Liouville dans le texte c'est de la philologie plus que des maths ^^) ! Faudrait que je m'habitue à chercher des docs en anglais, je passe à côté de plein de trucs à cause de ça

[Siegfried]

Oui Liouville c'est pour la culture. Oui, malheureusement la majorité des documents mathématiques sont en anglais. Félicitations pour ton intégration (ta phrase en signature veut-elle dire que le Lycée Fabert est une prépa "moyenne" ? Je n'y connais rien)

[Jio15]

ta phrase en signature veut-elle dire que le Lycée Fabert est une prépa "moyenne" ?

Pas forcément, mais c'est assez rare qu'on mette des gens à Ulm ou à l'X (une personne par an en gros) donc j'ai pas mal flippé toute l'année ^^. Cette phrase veut surtout dire "Croyez en vos rêves, même si vous êtes pas à LLG ou HIV ou Stan ou Ginette, vous avez une chance !"

[MorphismeC]

Problème sympa mêlant arithmétique et combinatoire :

Soient $ a_1, ..., a_n $ des entiers compris entre 0 et $ n-1 $. Montrer qu'il existe $ r, s \in \mathbb{N} $ (avec $ 1 \leq r \leq s \leq n $) tels que $ \sum_{i=r}^s a_i \equiv 0 \pmod n $.

[donnerwetter]

Soient $ a_1, ..., a_n $ des entiers compris entre 0 et $ n-1 $. Montrer qu'il existe $ r, s \in \mathbb{N} $ (avec $ 1 \leq r \leq s \leq n $) tels que $ \sum_{i=r}^s a_i \equiv 0 \pmod n $.

Cool ton exo ! Si t'en as d'autres je suis preneur

SPOILER:

On suppose : $ \forall (r,s) \in \mathbb{N}^2 / 1 \leq r \leq s \leq n-1, \sum_{i=r}^s a_i \not\equiv 0 \pmod n $.
On pose $ (S_j)_{1 \leq j \leq n} : S_j= \sum_{i=1}^j a_i $. Soient $ r_1,r_2,...,r_n $ les résidus de $ S_1,...,S_n $ modulo n. S'il existait p et q compris entre 1 et n avec $ p \not =q $ tels que $ r_p=r_q $ alors on aurait $ S_p - S_q \equiv 0 \pmod n $ et donc $ \sum_{i=min(p;q)}^{max(p;q)} a_i \equiv 0 \pmod n $ d'où contradiction.
Donc les résidus sont tous différents 2 à 2 et on a $ \{r_1,r_2,...,r_n\}=\{0,1,...,n-1\} $. Mais alors un résidu vaut 0 ce qui est impossible. D'où la conclusion.