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donnerwetter a écrit :

Soit $ I = [a;b] $ un intervalle de $ \mathbb{R} $ et soit $ f:I \to \mathbb{R} $ continue :

Montrer que la fonction de $ I $ dans $ \mathbb{R} $ : $ g : x \mapsto max_{[a:x]} f $ est la plus petite des fonctions croissantes majorant $ f $, puis qu'elle est continue.

Très brouillon j'imagine :

SPOILER:

On suppose qu'il existe $ h : [a;b] \to \mathbb{R} $ telle qu'il existe $ x_0 \in [a;b] $ tel que $ h(x_0)<g(x_0) $.
 - Pour tout x dans un intervalle sur lequel f atteint son max et est croissante (cas 1), g(x)=f(x). Comme $ h(x) \geq f(x) $, g(x)=h(x) pour obtenir le plus petit majorant.
 - Pour tout x dans un intervalle ]a';b'[ avec f(a')=g(a') sur lequel f(x)<f(a') (cas 2), g(x)=g(a'). Or d'après ce qui précède h(a')=g(a'). S'il existait $ x_0 \in ]a';b'] $ tel que $ h(x_0)<g(x_0)=g(a') $ on aurait donc $ h(x_0)<h(a') $ et h décroissante d'où contradiction.
Donc sur I, h=g.

Pour la continuité sur I :
 - pour tout x d'un intervalle du cas 1, g(x)=f(x) donc g est continue par continuité de f ;
 - pour tout x d'un intervalle ]a';b'] du cas 2, g(x)=g(a') donc g est continue par continuité de la fonction constante ;
 - reste à s'intéresser aux points de jonction du cas 1 et du cas 2.
On a donc un intervalle I'=[a';b'] avec f(a')=g(a')=f(b')=g(b') tel que pour tout x dans I', f(x)=<f(a')=f(b'). De plus sur I''=[b';c'], f est croissante et donc f(x)=g(x).
Soient $ u:I' \to \mathbb{R}, v:I'' \to \mathbb{R} $ telles que u(x)=g(x) et v(x)=g(x) sur I' et I'' resp., continues d'après ce qui précède.
Soit $ \epsilon \in I $. Il existe $ \eta_1, \eta_2 \in I $ tels que pour tout x tel que $ \mid x-b' \mid < \eta_1, \mid x-b' \mid < \eta_2 $, $ \mid u(x) - u(b') \mid < \epsilon, \mid v(x) - v(b') \mid < \epsilon $. On prend alors $ min(\eta_1, \eta_2) $ et on remplace u et v par g pour achever le raisonnement.

Zetary a écrit : Soit $ I = [a;b] $ un intervalle de $ \mathbb{R} $ et soit $ f:I \to \mathbb{R} $ continue :

Montrer que la fonction de $ I $ dans $ \mathbb{R} $ : $ g : x \mapsto max_{[a:x]} f $ est la plus petite des fonctions croissantes majorant $ f $, puis qu'elle est continue.

La fonction $ \arctan $ est définie de $ \mathbb{R} $ dans $ ]-\pi/2;\pi/2[ $ comme la fonction réciproque de $ \tan $ ; ainsi pour tout $ x \in ]-\pi/2;\pi/2[, \arctan(\tan(x))=x $.

Pour tout $ x \in ]-\pi/2;\pi/2[ $, vous pouvez trouver sa dérivée en dérivant l'expression $ \tan(\arctan(x))=x $ ou en regardant le spoiler ci-dessous si vous avez la flemme :

SPOILER:

$ \arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2} $

(a) Pour tout $ x \in \mathbb{R} $, montrer que $ \cos(2 \arctan(x))=\frac{1-x^2}{1+x^2} $.
(b) En déduire une expression de $ \sin(2 \arctan(x)) $ pour tout $ x \in \mathbb{R} $.

donnerwetter a écrit :

ainsi pour tout $ x \in \mathbb{R}, \arctan(\tan(x))=x $.

Calculer $ arctan(1) + arctan(2) + arctan(3) $ (on pourra aussi trouver une interprétation géométrique du résultat)

donnerwetter a écrit :La fonction $ \arctan $ est définie de $ \mathbb{R} $ dans $ ]-\pi/2;\pi/2[ $ comme la fonction réciproque de $ \tan $ ; ainsi pour tout $ x \in ]-\pi/2;\pi/2[, \arctan(\tan(x))=x $.

Pour tout $ x \in ]-\pi/2;\pi/2[ $, vous pouvez trouver sa dérivée en dérivant l'expression $ \tan(\arctan(x))=x $ ou en regardant le spoiler ci-dessous si vous avez la flemme :

SPOILER:

$ \arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2} $

(a) Pour tout $ x \in \mathbb{R} $, montrer que $ \cos(2 \arctan(x))=\frac{1-x^2}{1+x^2} $.
(b) En déduire une expression de $ \sin(2 \arctan(x)) $ pour tout $ x \in \mathbb{R} $.