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Luckyos a écrit :http://www.mediafire.com/view/cjqtmhb7a ... C3%A9e.pdf et http://www.mediafire.com/view/rnp2t0e03 ... l_exos.pdf devraient normalement t'occuper jusqu'à la rentrée.

donnerwetter a écrit :

Luckyos a écrit :http://www.mediafire.com/view/cjqtmhb7a ... C3%A9e.pdf et http://www.mediafire.com/view/rnp2t0e03 ... l_exos.pdf devraient normalement t'occuper jusqu'à la rentrée.

Très sympa, à recommander. Après, il me semble que certains exos nécessitent des résultats HP non explicités dans les préambules, donc comme le dit kakille, il faut faire le tri.

Syl20 a écrit :Si quelqu'un trouve la foi (et le temps) de faire de même pour les 200 dernières pages, qu'il soit grandement remercié

Soit $ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ périodique non constante (une période de f est par convention strictement positive).

On appelle "plus petite période de f", si elle existe, une période qui est inférieure à toute autre période de f.

1) Si on suppose que f admet une plus petite période T montrer que les périodes de f sont exactement les nT pour n entier non nul

2) Exhiber une fonction admettant pour ensemble de périodes $ \mathbb{Q}^*_+ $ (et donc pas de plus petite période)

3) Si f n'admet pas de plus petite période, peut-elle être continue ?

4) En étudiant $ f : x \mapsto sin(2\pi p/q) $ si $ x = p/q + n\sqrt 2, \: n,p,q \in \mathbb{Z},\: q\neq 0 \: $ et $ x \mapsto 0 $ sinon, justifier que f est bien définie, non constante et admet deux périodes incommensurables (dont le quotient est irrationnel)

Zetary a écrit :Soit $ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ périodique non constante (une période de f est par convention strictement positive) :
1) Si on suppose que $ f $ admet une plus petite période $ T $ montrer que les périodes de f sont exactement les nT pour n entier non nul

2) Exhiber une fonction admettant pour ensemble de périodes $ \mathbb{Q}^*_+ $ (et donc pas de plus petite période)

3) Si f n'admet pas de plus petite période, peut-elle être continue ?

4) En étudiant $ f : x \mapsto sin(2\pi p/q) $ si x s'écrit $ p/q + n\sqrt 2, \: n,p,q \in \mathbb{Z},\: q\neq 0 $ et $ x \mapsto 0 $ sinon, justifier que f est bien définie, non constante et admet deux périodes incommensurables (dont le quotient est irrationnel)

kakille a écrit :Je m'y mets de ce pas.

Plus sérieusement, pour qu'un tel document soit pertinent pour le plus grand nombre, il faudrait :

- vérifier chaque énoncé.
- les rendre compatibles avec le programme en vigueur, quitte à introduire les définitions nouvelles localement.
- les organiser.

Autant dire un travail de titan.

Une première étape pourrait consister à seulement repérer les énoncés corrects en l'état et qui sont compatibles avec le programme actuel. Viendraient ensuite s'ajouter les énoncés expurgés de leurs coquilles et les énoncés d'approfondissements.

Il faudra aussi s'occuper du fil ouvert par les lycéens en 2015.

Ensuite, le fil des sup puis des spé...

A l'arrivée, ce recueil ne serait pas tant un truc pour se préparer à la sup (cf. les docs de LLG ou de Ginette vraiment destinés à ça), qu'une somme un peu anarchique d'énoncés aux vertus très inégales.

Si les exos sont résolus, ils sont corrects et faisables normalement

ladmzjkf a écrit :

Zetary a écrit :Soit $ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ périodique non constante (une période de f est par convention strictement positive) :
1) Si on suppose que $ f $ admet une plus petite période $ T $ montrer que les périodes de f sont exactement les nT pour n entier non nul

2) Exhiber une fonction admettant pour ensemble de périodes $ \mathbb{Q}^*_+ $ (et donc pas de plus petite période)

3) Si f n'admet pas de plus petite période, peut-elle être continue ?

4) En étudiant $ f : x \mapsto sin(2\pi p/q) $ si x s'écrit $ p/q + n\sqrt 2, \: n,p,q \in \mathbb{Z},\: q\neq 0 $ et $ x \mapsto 0 $ sinon, justifier que f est bien définie, non constante et admet deux périodes incommensurables (dont le quotient est irrationnel)

SPOILER:

1)Supposons qu'il pexiste une période $ T_f $ telle que le reste de la division euclidienne de $ T_f $ sur $ T $ est différent de $ 0 $, on sait que la différence de deux périodes est une période de $ f $, donc $ T-T_f=r<T $ (contra)
2)$ f(x)=c $ pour $ x\in\mathbb{Q} $ et $ f(x)=0 $ pour $ x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q} $, on sait que que $ x+q $ est rationnel si $ x $ l'est, irra si $ x $ ne l'est pas.
3)Pas Forcément(comme l'exemple plus haut), si elle est constante et n'admet pas de plus petite période alors elle doit être constante.
4) On a $ f(1/2)\neq 0 $, donc $ f $ n'est pas cte.
On a aussi $ f(p/q+n\sqrt{2}+1)=sin(2\pi p/q+2\pi)=f(p/q+n\sqrt{2}) $ et $ f(p/q+2n\sqrt{2}+\sqrt{2})=f(p/q+2n\sqrt{2}). $
D'autre part, si $ x= p/q +n\sqrt{2}+c $, avec $ c $ ne s'écrivant pas de la manière $ p'/q'+2m\sqrt{2} $, on a $ x+1 et x+\sqrt{2} $ qui ne s'écrivent pas de cette manière sinon $ c= p''/q''+2m'\sqrt{2}-p/q +n\sqrt{2} $, et on aurait une contra.
Donc f admet pour période 1 et $ \sqrt{2} $