Exercices de MPSI

[SH#T]

Ok je comprends ta méthode 1 maintenant, et tes expressions intermédiaires qui font intervenir z m'ont l'air juste. Maintenant bah écoute y a pas trente six solutions: tu exprimes z en fonctions de $ a_1 $ et $ r $ avec la première égalité, et t'essayes de remplacer tout ça dans la seconde égalité (t'inquiètes pas il y aura un peu de magie).

J'abandonne

[SH#T]

Je ne comprends pas ta réponse à la 3) : j'ai bien précisé que f n'était pas constante sinon on a une solution évidente, ce que je demande c'est si il existe des solutions non constantes et continues.

SPOILER:

Il est parti faire dodo ...

On suppose qu'il existe $ a,b $ avec $ f(a)\neq f(b) $.
En vertu de la continuité de $ f $ en $ b $, on écrit $ \forall \epsilon>0,\exists \alpha>0, \forall x\in\mathbb{R}, \left | x-b \right |<\alpha\Rightarrow \left | f(x)-f(b) \right |<\epsilon . $
Puisque f n'admet pas de plus petite période, il existe $ T<\alpha $, et donc il existe un $ n\in\mathbb{N} $ tq $ a+nT \in ]b-\alpha,b+\alpha[ $ (autrement $ (n+1)T-nT\geqslant 2\alpha $ )
Et donc $ \left | f(a+nT)-f(b) \right |<\epsilon $, et comme epsilon est arbitraire alors il existe $ n'T' $ tq $ f(a)=f(a+n'T')=f(b) $ (contra).
Donc f=f(0)

Le reste est bien ^^ sauf que chez moi $ sin(\pi) $ ça fait quand même 0 =P

Hahaha SH#T happens

SPOILER:

f(1/4)=1

[darklol]

Ok je comprends ta méthode 1 maintenant, et tes expressions intermédiaires qui font intervenir z m'ont l'air juste. Maintenant bah écoute y a pas trente six solutions: tu exprimes z en fonctions de $ a_1 $ et $ r $ avec la première égalité, et t'essayes de remplacer tout ça dans la seconde égalité (t'inquiètes pas il y aura un peu de magie).

J'abandonne

SPOILER:

$ r^2 = \frac{12}{n^2 (n-1)^2} [(n-1)a_1^2 -2n a_2] $ et on trouve en bonus une condition sur l'existence d'un tel $ r $

[Zetary]

Je ne comprends pas ta réponse à la 3) : j'ai bien précisé que f n'était pas constante sinon on a une solution évidente, ce que je demande c'est si il existe des solutions non constantes et continues.

SPOILER:

Il est parti faire dodo ...

On suppose qu'il existe $ a,b $ avec $ f(a)\neq f(b) $.
En vertu de la continuité de $ f $ en $ b $, on écrit $ \forall \epsilon>0,\exists \alpha>0, \forall x\in\mathbb{R}, \left | x-b \right |<\alpha\Rightarrow \left | f(x)-f(b) \right |<\epsilon . $
Puisque f n'admet pas de plus petite période, il existe $ T<\alpha $, et donc il existe un $ n\in\mathbb{N} $ tq $ a+nT \in ]b-\alpha,b+\alpha[ $ (autrement $ (n+1)T-nT\geqslant 2\alpha $ )
Et donc $ \left | f(a+nT)-f(b) \right |<\epsilon $, et comme epsilon est arbitraire alors il existe $ n'T' $ tq $ f(a)=f(a+n'T')=f(b) $ (contra).
Donc f=f(0)

Oui c'est bien mais il reste un détail : j'ai dit que f n'admet pas de plus petite période, mais a priori ça ne veut pas dire qu'elle a des périodes arbitrairement proches de 0 (son ensemble de périodes pourrait être $ ]1;+\infty]\cap \mathbb{Q} $). En fait cette implication est vraie donc ta preuve fonctionne bien, mais il faut le montrer.

[ladmzjkf]

Oui c'est bien mais il reste un détail : j'ai dit que f n'admet pas de plus petite période, mais a priori ça ne veut pas dire qu'elle a des périodes arbitrairement proches de 0 (son ensemble de périodes pourrait être $ ]1;+\infty]\cap \mathbb{Q} $). En fait cette implication est vraie donc ta preuve fonctionne bien, mais il faut le montrer.

SPOILER:

Supposons que l'ensemble des périodes est $ ]p,+\infty[ $, on sait qu'il existe deux périodes (Sans perte de généralité: T_2<T_1 ) tq $ T_1,T_2 \in ]p,p+\alpha[ $, leur différence est aussi une période et$ 0<T_1-T_2<\alpha $, et comme alpha est arbitraire, p ne peut être supérieur à 0 (ou on prend alpha égale à p par exemple )

[Jio15]

j'ai dit que f n'admet pas de plus petite période, mais a priori ça ne veut pas dire qu'elle a des périodes arbitrairement proches de 0

Bah... C'est exactement ce que ça veut dire, non ? En posant m l'inf des périodes et T_n une suite de périodes qui décroît vers m, on remarque que (T_n-m) est une suite de périodes qui tend vers 0, sans jamais être nulle (sinon m serait une plus petite période)... Donc m=0 et il existe des périodes arbitrairement faibles.
Je ne vois pas vraiment le problème... ?

[kakille]

Nouvelle illustration (j'en ai long comme le bras) du fait que proposer des exos à des lycéens qui font intervenir des choses HP pas triviales, c'est pas forcément une bonne idée.

"Mais s'ils sont motivés, je vois pas le problème"

Jouer avec les sommes, c'est une chose. Jouer subtilement avec l'analyse quand on dispose à peine de la définition de limite, c'en est une autre.

[lsjduejd]

Oui c'est bien mais il reste un détail : j'ai dit que f n'admet pas de plus petite période, mais a priori ça ne veut pas dire qu'elle a des périodes arbitrairement proches de 0 (son ensemble de périodes pourrait être $ ]1;+\infty]\cap \mathbb{Q} $). En fait cette implication est vraie donc ta preuve fonctionne bien, mais il faut le montrer.

Ceci est parfaitement vrai.

j'ai dit que f n'admet pas de plus petite période, mais a priori ça ne veut pas dire qu'elle a des périodes arbitrairement proches de 0

Bah... C'est exactement ce que ça veut dire, non ?

Non. Ca veut dire que pour tout période de f, il existe une autre période strictement plus petite.
Les deux propositions sont équivalentes, mais deux propositions équivalentes ne sont en général pas égales stricto sensu.

Et donc en réponse à kakille : tu ferais mieux d'arrêter les polémiques et critiques infondées et stériles et d'alimenter ce topic (et mieux, le forum) en posts pertinents.

[kakille]

Ma critique est argumentée (j'explique depuis longtemps d'où viennent mes réticences) : peux-tu en dire autant de la tienne à mon égard ?

Elle est aussi fondée sur des bases solides (une expérience assez longue dans l'enseignement des maths après un cursus approfondi) : peux-tu en dire autant ?

Sinon, tu peux regarder les posts que je mets depuis 2012 sous les pseudos Magnéthorax et kakille. Tout n'est pas transcendant, mais il y en a une bonne partie que je me permets de juger pertinente vu, notamment, les retours de mes interlocuteurs : peut-on en dire autant de tes contributions ?

Quand tu en auras fait le quart, on en reparle.

[Siméon]

Sinon, tu peux regarder les posts que je mets depuis 2012 sous les pseudos Magnéthorax et kakille. Tout n'est pas transcendant, mais il y en a une bonne partie que je me permets de juger pertinente vu, notamment, les retours de mes interlocuteurs.

Je confirme ! et je suis d'accord avec toi sur la question du hors-programme (rappelons d'ailleurs qu'il y a d'autres fils pour le programme de MPSI et le programme de MP).

En revanche, je ne trouve pas que l'exercice de Zetary en question soit particulièrement mal calibré.