ladmzjkf a écrit :Tu ne voulais pas dire plutôt, chaque moitié contient une infinité de termes de la suite - preuve par dichotomie ? (peu importe si les termes sont différents )
Oui pardon j'édite ça, encore désolé (vive les vacances ^^)
Merci pour le "pas à pas mpsi" en passant.
Zetary a écrit :Tu traites d'abord rapidement ce cas, puis tu etudies le cas d'un nombre infini de termes. Ces deux demos (Lemme des pics et dichotomie) sont les plus classiques du théorème de BW
On appelle sous-suite de $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ toute suite $ u_{\varphi(n)} $, où $ $\varphi$ $ est une application strictement croissante de $ $\mathbb{N}$ $ vers lui même.
On appelle terme d'une suite $ $u_n$ $ dominant si $ $\forall m>n,\, u_n\geqslant u_m$ $.
1)Distinguer le cas où il existe une infinité de de termes dominants et le cas où il y en a un nombre fini, pour montrer que toute suite admet une sous-suite monotone.
2) Déduire le théorème de Bolzano-Weierstrass: Si $ $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ $ est une suite bornée, alors elle admet une sous-suite convergente.
C'est donc ça le fameux BW
SPOILER:
(1) Dans le 1er cas, il suffit de prendre la suite décroissante des termes dominants.
Dans le 2e cas, il existe un dernier terme dominant $ u_z $. On pose $ v_0=u_{z+1} $ Comme $ v_0 $ n'est pas dominant, il existe un $ v_1 $ tel que $ u_z>v_1>v_0 $. En répétant ce constat pour $ v_1,v_2 $, etc. on obtient une sous-suite de $ (v_n) $ strictement croissante.
(2) $ (u_n) $ admet une sous-suite strictement monotone possédant les mêmes bornes que $ (u_n) $, elle admet donc une sous-suite convergente.
Par contre, j'ai un peu de mal à voir pour quel type de problème ce théorème peut être utile... quelqu'un pourrait m'éclairer là-dessus ? Quoi qu'il en soit, le résultat est sympa.
Pour aller plus loin, on dit qu'un réel est valeur d'adhérence d'une suite réelle si cette suite admet une sous-suite convergeant vers ce réel. On généralise cette notion aux valeurs d'adhérence infinies si une sous-suite tend vers +infini ou -infini.
BW garantit que toute suite bornée admet une valeur d'adhérence finie
Montrer que toute suite admet une valeur d'adhérence (finie ou non)
Montrer qu'une suite converge vers a/tend vers plus l'infini si et seulement si elle admet a/plus l'infini pour unique valeur d'adhérence
Montrer que si la différence entre deux termes consécutifs d'une suite tend vers 0 alors l'ensemble de ses valeurs d'adhérence finies est un intervalle fermé (de la forme [a;b] ou [a; +inf[ ou ]-inf;a] ou R)
Trouver une suite dont l'ensemble des valeurs d'adhérence finies est R
Bah pour ce qui est de l'utilité de BW, c'est que travailler avec des suites convergentes, c'est quand même beaucoup plus sympathique ^^ Le thèorème permet souvent de se ramener à travailler avec des suites convergentes quand on a des suites bornées
Zetary a écrit :
1) Montrer que toute suite admet une valeur d'adhérence (finie ou non)
2) Montrer qu'une suite converge vers a (resp. tend vers plus l'infini) si et seulement si elle admet a (resp. plus l'infini) pour unique valeur d'adhérence.
3) Montrer que si la différence entre deux termes consécutifs d'une suite tend vers 0 alors l'ensemble de ses valeurs d'adhérence finies est un intervalle fermé (de la forme [a;b] ou [a; +inf[ ou ]-inf;a] ou R)
4) Trouver une suite dont l'ensemble des valeurs d'adhérence finies est R
C'est mal rédigé, je l'admets, je m'appliquerai plus si l'idée est juste
SPOILER:
1) On traite le cas de $ u_n $ une suite positif, soit elle est bornée, soit elle ne l'est pas.
Le premier cas est trivial.
Le deuxième: Si $ u_n $ tend vers $ +infty $, c'est bon.
Sinon, il existe un m de $ \mathbb{R}+ $ tq l'ensemble$ { u_n<m ; n\in\mathbb{N} } $ soit infini, c'est la négation de ($ lim u_n=+\infty $).
Et on extrait de cet ensemble une sous-suite dont la convergence est assurée par BW.
2) Supposons que u_n converge vers a, bien sûr a est une valeur d'adhérence, supposons par l'absurde qu'elle admette une autre valeur d'adhérence b\neq a, par la définition de la convergence, à partir d'un certain rang les termes de la suite se concentrent dans un intervalle centré en a. En particulier, il existe un rang a partir duquel tous les termes qui suivent vérifient: $ |u_n-a|< |b-a|/100. $. (On dressera un schéma pour mieux comprendre.) Et donc b n'est pas une valeur d'adhérence
Donc u_n tend vers a \Rightarrow u_n admet a comme unique valeur d'adhérence.
Pour la réciproque: Supposons que u_n admette a comme unique valeur d'adhérence. On va montrer que les termes de la suite après un certain rang sont tous dans un intervalle centré en a de longueur 2\epsilon, et donc u_n converge vers a.
Pour faire ça, on montre que $ \mathbb{R}-]a-\epsilon,a+\epsilon[ $ contient un nombre fini de terme , (dans le cas contraire: BW nous assure l'existence d'une valeur d'adhérence autre que a ce qui est impossible) et on prend le rang=(rang du dernier terme n'apprtenant pas à l'intervalle)+1 ...
3) J'ai déjà rencontré cet exercice sans savoir où commencer, tu es sûr qu'il ne nécessite pas plus que la définition d'un intervalle fermé, BW & valeur d'adhérence? (pas d'indices pour le moment)
4) La suite qui prend toutes les valeurs rationnelles ??? (elle existe puisque $ \mathbb{Q} \sim \mathbb{N} $)
Il doit y avoir plus simple je pense
Pour la 3), je dirais qu'il faut montrer qu'une telle suite est soit une suite de Cauchy et donc converge, soit ne l'est pas ((ln(n) par exemple) et tend vers un infini et alors se ramener à 2) (?)
Et pour la R), je pensais à quelque chose du genre (nsin(n)) où (sin(n)) dans [-1;1]^N couvre l'ensemble des valeurs de [-1;1] il me semble.
donnerwetter a écrit :Pour la 3), je dirais qu'il faut montrer qu'une telle suite est soit une suite de Cauchy et donc converge, soit ne l'est pas ((ln(n) par exemple) et tend vers un infini et alors se ramener à 2) (?)
Et pour la R), je pensais à quelque chose du genre (nsin(n)) où (sin(n)) dans [-1;1]^N couvre l'ensemble des valeurs de [-1;1] il me semble.
Ce ne sont que des remarques (pas vraiment des arguments) , attends la confirmation de quelqu'un en sup ou autre
SPOILER:
Je ne peux parler de la 3) vu que je n'y ai pas encore réfléchi, mais pour la 4) je ne pense pas que u_n=n sin(n) soit un exemple simple, pourquoi:
Quoique l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite u_n=sin(n) est bien [-1,1] (résultat qui, si je me rappelle, pas si simple à démontrer; mais admettons le ).
Comment montrer maintenant que nsin(n) admet \mathbb{R} comme ens de ses valeurs d'adhérence, par exemple comment montrer qu'il existe une sous-suite tq lim u_{g(n)}=1/2.
Comment faire pour montrer que sin(g(n)) coincide de plus en plus avec 1/2g(n)
En fait je pense que tu peux prouver non seulement que adh(sin(n))=[-1;1] mais que pour j dans [-1;1] tu as une infinité de n tels que sin(n)=j (sous-suites constantes donc). À partir de là tu cherches à prouver que l'équation en n nsin(n)=k i.e. sin(n)=k/n a une infinité de solutions et il suffit de choisir n ≥|k|, non ?... bon c'est de la supputation pure à ce niveau là, j'aimerais bien que quelqu'un me confirme que ce n'est pas complètement n'importe quoi ^^
donnerwetter a écrit :En fait je pense que tu peux prouver non seulement que adh(sin(n))=[-1;1] mais que pour j dans [-1;1] tu as une infinité de n tels que sin(n)=j (sous-suites constantes donc). À partir de là tu cherches à prouver que l'équation en n nsin(n)=k i.e. sin(n)=k/n a une infinité de solutions et il suffit de choisir n ≥|k|, non ?... bon c'est de la supputation pure à ce niveau là, j'aimerais bien que quelqu'un me confirme que ce n'est pas complètement n'importe quoi ^^
SPOILER:
Si jamais on a pour m différent de n, sin(n) = sin(m) alors n = m mod 2 pi, ce qui est impossible car 2pi est irrationnel
Mais on a bien adh(sin(n)) = [-1, 1] car adh(sin(n), n€N) = adh(sin(N)) = adh(sin(N + 2pi Z)) = [-1, 1] car le sous groupe N + 2pi Z est dense car 2pi irrationnel
j'édite ça, encore désolé (vive les vacances ^^)
