1- Si X=Y, avec X et Y indépendants, alors $ P(X\cap X)=P(X)=P(X)^2 $, et donc la loi est constante.
2- On rappelle que la somme de deux nombres de même parité est paire, et la somme de deux nombre de parité différente est impaire. Comme E est fini, on peut poser p le nombre de nombres pairs dans E, et i le nombre de nombres impairs dans E. Comme X et Y sont indépendantes, pour que X+Y soit pair, soit on choisit une valeur parmi p nombres pairs pour X, et une valeur parmi p nombres pairs pour Y, soit p² combinaisons, soit on choisit une valeur parmi i nombres impairs pour X, et de même pour Y, soit i² combinaisons. Donc on a p² + i² combinaisons possibles pour que X+Y soit pair.
Pour que X+Y soit impair, on a p choix pour X pair, et i choix pour Y impairs, soit pi combinaisons. On peut aussi choisir X impair et Y pair, ce qui nous fait encore pi combinaisons, soit 2pi combinaisons possibles pour X+Y impair.
De plus $ (p+i)^2 \ge 0 $, d'où $ p^2 + i^2 \ge 2pi $. Donc $ P(X+Y pair) \ge P(X+Y impair) $. De plus, $ P(X+Y pair) + P(X+Y impair)=1 $, d'où $ P(X+Y impair) \le \frac{1}{2} $
