Exercices de MPSI

[gchacha]

Bonsoir, un petit exercice de géométrie sympathique :

On considère un cercle $$ (\mathcal{C}) $$ de diamètre $$ [AB] $$, un point $$ M $$ hors de $$ (\mathcal{C}) $$ tel que la droite $$ (MA) $$ coupe le cercle en $$ D $$. De plus, on place le point $$ T $$ sur le cercle de telle manière que la droite $$ (TM) $$ soit tangente à $$ (\mathcal{C}) $$. Montrer que $$ \vec{MA}.\vec{MD}=MT^2 $$

Bonne chance

PS : désolé pour la typo latex

[kakille]

Bonjour,

une repère du plan étant fixé, déterminez l'ensemble des fonctions réelles dont chaque point de la courbe possède la propriété suivante : le produit de ses coordonnées est égale à leur somme.

[Schädel]

SPOILER:

soit f : I -> R, I à déterminer

$$ xf(x)=x+f(x) <=> (x-1)f(x)=x

=> d((x-1)f(x))/dx=1
=> f(x)+(x-1)f'(x)=1 $$

Équation différentielle à résoudre : $$ y+(x-1)y'=1 <=> xy' - y' + y = 1 $$

On trouve, avec C réel à déterminer :

$$ f(x)=C/(1-x) + x/(x-1) $$
pour tout x différent de 1.

Or : $$ 0*f(0)=0+f(0)=f(0) $$ et $$ f(0)=C $$
D'où C = 0
D'où $$ f(x)=x/(x-1) $$
pour tout x différent de 1.

On a bien :

$$ xf(x) = x²/(x-1) $$
$$ x + f(x) = x + x/(x-1) = (x(x-1)+x)/(x-1) = x²/(x-1) = xf(x) $$

Rmq: En faisant les calculs avec C, on retrouve la condition dessus, donc ça me semble bien.

Dans l'autre sens (<=), cela implique que les fonctions $$ g:x->(x-1)f(x) $$ et x->x sont égales à une constante près,
i.e. : $$ (x-1)f(x)=x+a $$, a réel
donc : $$ x(x-1)/(x-1)=x+a $$
donc : $$ x=x+a $$
donc : $$ a=0 $$

Conclusion : S={ $$ f(x)=x/(x-1) $$, x différent de 1}.

[Zetary]

SPOILER:

Attention, l'évaluation ne permet de déterminer C que sur l'intervalle ]- l'infini ; 1[, sur l'autre C est différente a priori. Ta solution m'a l'air bonne quand même mais il faut un autre argument.

Sinon un petit peu de géométrie : soit $ A,B,C,D,E $ des points du plan, $ A,B,C,D $ étant alignés dans cet ordre, mais pas avec $ E $. On pose $ O $ et $ O' $ les centres respectifs des cercles circonscrits à $ ADE $ et $ BCE $. On suppose que les angles $ \widehat{AEB} $ et $ \widehat{CED} $ sont égaux. Montrer que $ O,O',E $ sont alignés.

[Yoz]

SPOILER:

soit f : I -> R, I à déterminer

$$ xf(x)=x+f(x) <=> (x-1)f(x)=x

=> d((x-1)f(x))/dx=1
=> f(x)+(x-1)f'(x)=1 $$

Équation différentielle à résoudre : $$ y+(x-1)y'=1 <=> xy' - y' + y = 1 $$

On trouve, avec C réel à déterminer :

$$ f(x)=C/(1-x) + x/(x-1) $$
pour tout x différent de 1.

Or : $$ 0*f(0)=0+f(0)=f(0) $$ et $$ f(0)=C $$
D'où C = 0
D'où $$ f(x)=x/(x-1) $$
pour tout x différent de 1.

On a bien :

$$ xf(x) = x²/(x-1) $$
$$ x + f(x) = x + x/(x-1) = (x(x-1)+x)/(x-1) = x²/(x-1) = xf(x) $$

Rmq: En faisant les calculs avec C, on retrouve la condition dessus, donc ça me semble bien.

Dans l'autre sens (<=), cela implique que les fonctions $$ g:x->(x-1)f(x) $$ et x->x sont égales à une constante près,
i.e. : $$ (x-1)f(x)=x+a $$, a réel
donc : $$ x(x-1)/(x-1)=x+a $$
donc : $$ x=x+a $$
donc : $$ a=0 $$

Conclusion : S={ $$ f(x)=x/(x-1) $$, x différent de 1}.

Hmm je crois que tu te donnes du mal pour rien...

SPOILER:

Si (x-1)f(x) = x alors pour tout x différent de 1 de l'ensemble de définition de f, f(x) = x/(x-1) (f ne peut pas être définie en 1)
Cela court-circuite l'intégralité de tes calculs.
Par ailleurs il ne faut jamais dériver une fonction sans montrer qu'elle est dérivable ! Et attention aux constantes d'intégration qui peuvent être différentes sur des intervalles disjoints.

[Schädel]

SPOILER:

soit f : I -> R, I à déterminer

$$ xf(x)=x+f(x) <=> (x-1)f(x)=x

=> d((x-1)f(x))/dx=1
=> f(x)+(x-1)f'(x)=1 $$

Équation différentielle à résoudre : $$ y+(x-1)y'=1 <=> xy' - y' + y = 1 $$

On trouve, avec C réel à déterminer :

$$ f(x)=C/(1-x) + x/(x-1) $$
pour tout x différent de 1.

Or : $$ 0*f(0)=0+f(0)=f(0) $$ et $$ f(0)=C $$
D'où C = 0
D'où $$ f(x)=x/(x-1) $$
pour tout x différent de 1.

On a bien :

$$ xf(x) = x²/(x-1) $$
$$ x + f(x) = x + x/(x-1) = (x(x-1)+x)/(x-1) = x²/(x-1) = xf(x) $$

Rmq: En faisant les calculs avec C, on retrouve la condition dessus, donc ça me semble bien.

Dans l'autre sens (<=), cela implique que les fonctions $$ g:x->(x-1)f(x) $$ et x->x sont égales à une constante près,
i.e. : $$ (x-1)f(x)=x+a $$, a réel
donc : $$ x(x-1)/(x-1)=x+a $$
donc : $$ x=x+a $$
donc : $$ a=0 $$

Conclusion : S={ $$ f(x)=x/(x-1) $$, x différent de 1}.

Hmm je crois que tu te donnes du mal pour rien...

SPOILER:

Si (x-1)f(x) = x alors pour tout x différent de 1 de l'ensemble de définition de f, f(x) = x/(x-1) (f ne peut pas être définie en 1)
Cela court-circuite l'intégralité de tes calculs.
Par ailleurs il ne faut jamais dériver une fonction sans montrer qu'elle est dérivable ! Et attention aux constantes d'intégration qui peuvent être différentes sur des intervalles disjoints.

Hmprf, effectivement, je me sens bête !

SPOILER:

Mais alors on peut procéder par équivalence ? Comment faut-il rédiger pour montrer que c'est la seule fonction à valeurs réelles qui satisfait la condition ?
Et du coup pour la constante y avait-il un moyen de le montrer sur ]1;+l'infini] ou aurait-il fallu que je fasse le calcul avec l'expression contenant C de xf(x) et de (x+f(x)) pour ensuite trouver la condition C=0 par identification ? (juste pour comprendre la subtilité !)

[Bidoof]

SPOILER:

Par les formules de Viète, les coordonnées sont les racines d'un polynôme de la forme $ x^{2}-cx+c $
On trouve ainsi une représentation paramétrique.
Pour conclure on complète par une symétrique par rapport à x = y (si quelqu'un peut m'expliquer pourquoi, j'ai deviné cette symétrique en voyant vos réponses)

[Bidoof]

VOici une photo :

SPOILER:

[Zetary]

SPOILER:

La symétrie vient directement de la commutativité de la somme et du produit dans les hypothèses

Personne n'aime ma géométrie ? :'-(

[kakille]

Bonjour,

[quote=Schädel post_id=872415 time=1498513868 user_id=55746]

SPOILER:

soit f : I -> R, I à déterminer

$$ xf(x)=x+f(x) <=> (x-1)f(x)=x

=> d((x-1)f(x))/dx=1
=> f(x)+(x-1)f'(x)=1 $$

Équation différentielle à résoudre : $$ y+(x-1)y'=1 <=> xy' - y' + y = 1 $$

On trouve, avec C réel à déterminer :

$$ f(x)=C/(1-x) + x/(x-1) $$
pour tout x différent de 1.

Or : $$ 0*f(0)=0+f(0)=f(0) $$ et $$ f(0)=C $$
D'où C = 0
D'où $$ f(x)=x/(x-1) $$
pour tout x différent de 1.

On a bien :

$$ xf(x) = x²/(x-1) $$
$$ x + f(x) = x + x/(x-1) = (x(x-1)+x)/(x-1) = x²/(x-1) = xf(x) $$

Rmq: En faisant les calculs avec C, on retrouve la condition dessus, donc ça me semble bien.

Dans l'autre sens (<=), cela implique que les fonctions $$ g:x->(x-1)f(x) $$ et x->x sont égales à une constante près,
i.e. : $$ (x-1)f(x)=x+a $$, a réel
donc : $$ x(x-1)/(x-1)=x+a $$
donc : $$ x=x+a $$
donc : $$ a=0 $$

Conclusion : S={ $$ f(x)=x/(x-1) $$, x différent de 1}.

Je me demande bien pourquoi, arrivé devant $$ (x-1)f(x)=x, $$ il te prend l'envie de dériver pour déterminer $$ f(x). $$ Et puis tu sais, les équations différentielles, c'est pour l'année prochaine.