Exercices de MPSI

[Errys]

Ah oui en effet, merci.

[kakille]

Hello mat_meca,

tu devrais facilement trouver sur le net le programme officiel de la série S. Personnellement, je n'ai rien contre utiliser des notations ou des notions hors programme (quoique en fait), mais encore faut-il qu'elles soient introduites à partir des programmes. Sinon, tu vas parler à un lycéen ou deux.

[Enzo42]

Pas mal !

SPOILER:

D'habitude pour faire cet exercice à tout x dans A on associe q_x rationnel compris strictement entre la limite à gauche et la limite à droite de f en A (différentes par discontinuité en x et croissance) et on a une injection de A dans Q (par croissance de f) mais ce que tu as fait marche aussi

Comme tu t'en doutes, la réciproque nécessite de construire des fonctions très moches (par exemple si A = Q) ^^ donc ne se fait pas avant la sup (voire la spé pour l'exo posé comme ça), mais je pourrai te l'expliquer si tu veux

J'en ajoute un : soit f de R dans lui même, on appelle maximum local strict de f un point x tel qu'il existe un (petit) intervalle ouvert contenant x sur lequel f a un maximum global strict en x. Montrer que l'ensemble des maxima locaux stricts de f est au plus dénombrable

Je tente ma chance après découvert ce topic il y a quelques semaines. Je m'excuse pour la présentation mais je n'ai pas encore découvert comment utiliser les simboles sur le forum.

SPOILER:

On va commencer par montrer qu'il existe c>0 tel que chaque maximum est espacé d'au moins une longueur c.

Soient m et m' les abscisses des deux maximum locaux successifs, m>m'.
Montrons que m-m' existe et n'est pas infinitésimal:
Sans perdre de généralité, soit f(m) supérieur ou égal à f(m'). Comme m' est maximum sur ]a;b[, si m appartient à cet intervalle, on contredit l'hypothèse. Donc m-m'>b-m. Comme ]a;b[ est ouvert et contient m, b-m>0 et non infinitésimal. Il en est donc de même pour m-m'

Supposons maintenant qu'il n'existe pas c>0 tel que chaque maximum est espacé d'au moins une longueur c.
Quelque soit c, il existe (m,m') dans R² avec m>m' tel que m-m'>c. Pourtant, m-m'>0 et non infinitésimal donc c=(m-m')/2 convient. C'est absurde.
Ainsi, il existe c>0 tel que chaque maximum est espacé d'au moins une longueur c.
Donc chaque intervalle de longueur c semi-ouvert a au plus un maximum.


On va maintenant conclure:
A [0;c[ on associe 1
A [-c;0[ on associe 2
A[c; 2c[, on associe 3
A [-2c;-c[ on associe 4 et ainsi de suite. On peut avoir tous les intervalles de la forme [kc; (k+1)c[ avec k dans Z.
Pour tout x de R, on note X= E(x/c). x appartient à [Xc;(X+1)c[, auquel on va arriver dans notre comptage car X est entier.
On a donc établi une correspondance entre ces intervalles et N. Ils sont donc dénombrables.

Chacun des intervalles plus haut a au plus un maximum local. Le nombre de maximum locaux stricts de f est donc dénombrable.

Voilà voilà pour ma première intervention.

[Syl20]

On va commencer par montrer qu'il existe c>0 tel que chaque maximum est espacé d'au moins une longueur c.

Il me semble que $ f(x)=sin(x^2) $ est un contre-exemple à cette affirmation : ta fonction peut varier de plus en plus vite en l'infini.
Cette fonction et $ f(x)=x sin(1/x) $ prolongée par $ f(0)=0 $ sont des contre-exemples intéressants qui montrent qu'il est difficile de construire directement une énumération des maxima dans N ou Z.

[Errys]

Ce problème est vraiment pas facile si on connaît pas certains résultats. Je te conseil de faire les autres exos de dénombrement avant, tu devrais pouvoir faire celui-ci une fois que t'auras fait ceux d'avant !
Bonne journée.

[noro]

Ce problème est vraiment pas facile si on connaît pas certains résultats. Je te conseil de faire les autres exos de dénombrement avant, tu devrais pouvoir faire celui-ci une fois que t'auras fait ceux d'avant !
Bonne journée.

Il suffit de savoir montrer qu'une union dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable.

[Errys]

Qui reste un résultat à connaître, je suis pas sûr que ce soit quelque chose de très intuitif sans avoir montré que certains ensembles sont denombrables.

[Errys]

Un exercice d'analyse qui est selon moi instructif, avec seulement le programme de terminale, l'intégration par parties, et l'inégalité triangulaire intégrale (à savoir $ \left| \int f\right|\leq\int \left|f\right| $).
Par ailleurs, une fonction est dite $ \mathcal{C} ^2 $ si elle est deux fois dérivable avec $ f'' $ continue.

Montrer qu'il existe une constante $ C>0 $ telle que pour toute fonction $ \mathcal{C} ^2 $ de $ \mathbb{R} $ dans $ \mathbb{R} $ vérifiant $ f''\geq 1 $ on ait :
$$\forall a,b \in \mathbb{R}, \left|\int_a^b \sin(f(x)) dx\right| \leq C$$

Hey, ca fait quelques temps que je bloque sur cet exercice, je l'ai donné à pas mal de gens et personne n'y arrive non plus. Est-ce que tu aurais un indice ou autre pour cet exercice ? Il commence à me frustrer :p

[K-ter]

Hey, ca fait quelques temps que je bloque sur cet exercice, je l'ai donné à pas mal de gens et personne n'y arrive non plus. Est-ce que tu aurais un indice ou autre pour cet exercice ? Il commence à me frustrer :p

Aha c'était volontaire :p Il est difficile même si ça demande très peu d'outils et peut se faire en moins d'une page !

Quelles étaient tes pistes ?

L'idée c'est de faire une intégration par parties en intégrant $ f'(x) sin(f(x)) $ et en dérivant $ 1/f'(x) $ et d'exploiter ça judicieusement. Le problème étant que $ f' $ peut s'annuler...

[Errys]

Bonjour, merci pour les pistes, je vais essayer ça !

J'avais essayé d'explorer la piste de l'IPP, mais j'avais pas pensé à faire apparaître f'(t)/f'(t), j'avais à la place fait apparaître un x mais ça n'apportait rien. J'ai aussi essayé d'utiliser l'hypothese f''>= 1 pour montrer que la courbe oscille autour de 1 et donc que l'aire s'annule régulièrement, mais rien de bien formel ^^