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C'est donc la fin d'un mammouth ?

Bonjour,

voici un exercice que je trouve difficile sans indication, même s'il reste strictement dans le programme de première année. Pour l'instant, je le donne sec.
Soit $ d $ un entier naturel $ \geq 1 $. On note $ (\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_d) $ la base canonique de $ \mathbb{R}^d $.
Une fonction $ f:\mathbb{Z}^d \to \mathbb{R} $ est dite harmonique sur $ \mathbb{Z}^d $ si pour tout $ z $ dans $ \mathbb{Z}^d $, on a
$
f(z)=\frac{1}{2d}\sum_{i=1}^d f(z+\varepsilon_i)+f(z-\varepsilon_i)
$
(ie la valeur de $ f $ en tout point est égale à la moyenne de ses valeurs au $ 2d $ plus proches voisins euclidiens.)
Démontrer qu'une fonction harmonique et bornée sur $ \mathbb{Z}^d $ est constante.

Kakille une piste en spoiler ?

Il y a déjà eu un topic à propos de cet exo, c'est un oral ens : http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... 40#p918940

Voici un exo assez sympa que j'ai eu :

Soit $ A $ un ensemble infini de $ \mathbb{R}^{+ *} $ , il s'agit de trouver tous les polynômes $ P $ qui vérifient :

$ \forall x \in A :~~~~ P(x)=x^{\frac{3}{2}} $

A est un ensemble infini de réels ?

il y a un problème ?

C'est ce qu'il me semble aussi, on obtient facilement que $ P^2 =X^3 $ (infinité de racine toussa...), et ensuite on a un problème

saysws a écrit : ↑

24 juil. 2018 11:28

C'est ce qu'il me semble aussi, on obtient facilement que $ P^2 =X^3 $ (infinité de racine toussa...), et ensuite on a un problème

Cela mène a rien ..... je peux donner des indications si besoin.