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Salimovich a écrit : ↑

01 juin 2019 19:54

Dohvakiin a écrit : ↑

06 juil. 2012 17:32

Soit z un complexe de module 1, montrer que soit $ |1+z| \geq 1 $, soit $ |1+z^{2}| \geq 1 $

SPOILER:

Bon on peut écrire $z=e^{i\theta}$ factoriser par $z=e^{i \frac {\theta}{2}}$ faire apparaître des $\cos$ etc mais j'ai pensé à une preuve un peu plus rigolote.

On écrit quand même $z=e^{i\theta}$ avec $\theta \in [0;2\pi[$ et $Z$ l'image de $z$ dans le plan complexe. Ajouter $1$ à $z$ équivaut à effectuer une translation d'une unité vers la droite de $Z$ dans le plan. Si $\theta \in [0;\frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2};2\pi[$ alors $Z$ se situe sur le côté droit du cercle trigo, et donc le bouger d'une unité vers la droite le sortira du disque centré à l'origine et de rayon $1$, et on a bien $|1+z| \geq 1$.

On définit $f : \theta \in [0;2\pi[ \mapsto 2|\cos(\theta)|$. $f$ a une interprétation géométrique simple : c'est la distance entre le projeté orthogonal sur l'axe des abscisses d'un point du cercle trigo et celui de son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et donc la distance entre ces deux points. $f$ est continue et strictement croissante sur $[\frac{\pi}{2};\pi]$. Comme $f(\frac{\pi}{2})=0$ et $f(\frac{2\pi}{3})=1$ on a $\forall \theta \in [\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}], f(\theta) \le 1$ d'où la distance entre n'importe quel point de $[\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}]$ et son symétrique est inférieur à $1$ d'où la translation de n'importe lequel de ces points d'une unité vers la droite le sortira du disque de rayon $1$ et centré en 0. Un raisonnement analogue pour $\theta$ dans $[\frac{4\pi}{3};\frac{3\pi}{2}]$ nous donne $\theta \in [\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}]\cup[\frac{4\pi}{3};\frac{3\pi}{2}] \Rightarrow |1+z| \geq 1$.

Enfin, si $\theta \in [\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}]$ alors $2\theta \in [0; \frac{\pi}{2}]\cup[\frac{3\pi}{2}; 2\pi[$ d'où l'image de $z^2=e^{2i\theta}$ est sur le côté droit du cercle, et donc le décaler d'une unité vers la gauche le sort du disque et on a bien $|1+z^2| \geq 1$.

Sinon je retrouve plus le message mais à un moment quelqu'un demande de trouver toutes les fonctions continues $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que $f \cdot f=fof$ et je sais pas du tout comment aborder ce genre d'exos (j'ai prouvé que les seules solutions polynomiales sont $x \mapsto 0$, $x \mapsto 1$ et $x \mapsto x^2$ mais c'est bien loin du résultat).

Salimovich a écrit : ↑

01 juin 2019 19:54

Sinon je retrouve plus le message mais à un moment quelqu'un demande de trouver toutes les fonctions continues $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que $f \cdot f=fof$ et je sais pas du tout comment aborder ce genre d'exos (j'ai prouvé que les seules solutions polynomiales sont $x \mapsto 0$, $x \mapsto 1$ et $x \mapsto x^2$ mais c'est bien loin du résultat).

Naelvicoz a écrit : ↑

01 juin 2019 20:52

Donner un exemple de polynôme $ P $ non constant à coefficient dans un corps $ \mathbb K $ tel que $ \mathrm{deg}(P')<\mathrm{deg}(P)-1 $ et donner une condition sur $ \mathbb K $ pour qu'une telle situation ne se présente pas.

Trouver une suite $ (u_n) $ réelle bornée telle que $ u_{n+1} - u_n\to 0 $ mais qui ne converge pas.

Soient $ \mathbb{K}\subseteq\mathbb{L} $ des corps et $ E $ un $ \mathbb{L} $ espace vectoriel de dimension finie. On suppose $ \dim_{\mathbb{K}}(\mathbb{L})<\infty $. Trouver $ \dim_{\mathbb{K}}(E) $

On sait montrer Bolzano-Weierstrass dans $ \mathbb{R}^n $ facilement par extractions successives. Mais est-ce que l'on sait aussi le faire en dimension infinie ? Si je prend une suite de suites $ (u_{n,m}) $, est-ce qu'il existe une extractrice $ (\phi(n)) $ tel que pour tout entier $ m $, $ (u_{m, \phi(n)})_{n\ge 0} $ converge ?

Soit u une suite à valeurs réelles ; peut-on écrire u comme somme d'une suite croissante et d'une suite décroissante ?

Soit f une fonction de [0,1] à valeurs réelles, peut-on écrire f comme somme d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante ?

Schädel a écrit : ↑

02 juin 2019 17:10

Soit u une suite à valeurs réelles ; peut-on écrire u comme somme d'une suite croissante et d'une suite décroissante ?

Soit f une fonction de [0,1] à valeurs réelles, peut-on écrire f comme somme d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante ?

Soit f une fonction continue de [0,1] à valeurs réelles, peut-on écrire f comme somme d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante ?

Soit f une fonction continue de [0,1] à valeurs réelles, peut-on écrire f comme somme d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante ?