Forum Prepas.org

C'est ce qui est demandé non ?... Avec $\frac{1}{n}n \rightarrow 1$

Beatboxer a écrit : ↑

11 juin 2019 18:23

C'est ce qui est demandé non ?... Avec $\frac{1}{n}n \rightarrow 1$

Ah oui mea culpa.
On peut généraliser en remplaçant 1/n par n'importe quelle suite qui tend vers 0 (dans le petit o).

Une série alternée random du type $\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ fonctionne encore pour ces trucs

Mathoss a écrit : ↑

11 juin 2019 20:01

Une série alternée random du type $\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ fonctionne encore pour ces trucs

Nope, la série doit être de terme général positif.

Errys a écrit : ↑

09 juin 2019 11:12

Soit $ G $ un sous-groupe additif strict de $ \mathbb{R} $. Montrer que son complémentaire est dense dans $ \mathbb{R} $.

Une solution un peu plus courte : [EDIT] Hem, j'avais mal lu l'énoncé...

Combinatoire:

Soit $n$ un entier naturel. Dénombrer le nombre d'applications $h: \{a_{1},...,a_{2n}\} \to \{0,1\}$ qui vérifient:

$$\sum_{j=1}^{n} h(a_{j}) \leq \sum_{j=n+1}^{2n} h(a_{j})-1$$

$0 <\alpha <1 $ l'équivalence suivante est elle vraie : $x_{n+1} - \alpha x_{n} \mapsto 0$ ssi $x_n \mapsto 0$

@Oti
Soit $n\in\mathbb{N}.$ On note $\displaystyle \mathcal{P}_{n}=\#\left\{h:\{1,\ldots,2n\}\rightarrow \{0,1\}\mbox{ }|\mbox{ } \sum_{k=1}^{n}h(k)\leq \sum_{k=n+1}^{2n}h(k)-1\right \}.$
On trouve en raisonnant sur le nombre de fois que l'application $h$ prend la valeur $1$ dans $\{1,\ldots,n\}$ et après quelques manipulations de sommes de coefficients binomiaux :
\begin{align*}
\mathcal{P}_{n} & = \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}\sum_{l\geq k+1}\binom{n}{l}\\
& = \frac{1}{2}\left(4^{n}-\binom{2n}{n}\right).
\end{align*}

@Yusif

Vrai : il suffit d'observer un télescopage en introduisant la suite $u$ définie pour $n\in\mathbb{N}$ par : $\displaystyle u_{n}=\frac{x_{n}}{\alpha^{n}}$ et de découper un peu les $\varepsilon.$ L'énoncé reste d'ailleurs vrai si $\displaystyle \vert \alpha \vert <1.$

Voici un exercice basé sur le même genre de technique (se ramener à des récurrences connues mais perturbées sur les suites) :

Soit $q$ un entier plus grand ou égal à $2$ et $\alpha\in \mathbb{C}$ tel que $\displaystyle \vert \alpha \vert <1.$ On considère une suite $u$ bornée et vérifiant $\displaystyle u_{n}+\alpha u_{qn}\longrightarrow_{n\rightarrow +\infty} l$ où $l\in \mathbb{C}.$

i) Montrer que $u$ est convergente.
ii) Donner un contre-exemple lorsque $u$ n'est pas bornée.