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bonjour ,

il est clair que les fonctions de carré integrables ne pas necessairement integrables ( ex de f(t)=1/t sur [1, infini] )

mais une fonction f integrable est-elle de carre integrable ? (integrabilité sur R tout entier )

je montre ceci quand f est bornée sur R
mais dans le cas général ?

mik

Si I est un intervalle de R non borné, il n'y a aucune inclusion entre les trois espaces vectoriels suivants: fonctions intégrables, fonctions de carré intégrable, fonctions bornées.
C'est un bon exercice que de construire des contre-exemples en jouant avec les fonctions puissances.

En revanche, si I est borné, on a les inclusions borné < carré intégrable < intégrable. Exercice: le démontrer, et aussi que ces inclusions sont strictes.

Si on considère les séries réelles ou complexes, on a les inclusions inverses: si une série converge absolument alors son carré aussi et si le carré converge absolument alors le terme général est borné. Là encore les inclusions sont strictes.

euh...

utiliser le fait que $ |fg| \leq \frac{f^2 + g^2}{2} $ ........