Forum Prepas.org

bonsoir ,

un espace vectoriel F normé est complet ssi toute suite de cauchy est convergente

c'est une défintion ,
mais si F est un sous espace vectoriel de E on peut se demander si la limite de la suite de cauchy d'elements de F est elle meme un ELEMENT DE F


en d'autre terme si on veut montrer que F muni d'une norme particuliere est complet on doit prendre une suite de cauchy d'elements de F, montrer qu'elle converge et que sa limite est dans F , n'est-ce pas ?
exemple: E l'ensemble des suites reelles et F l'ensemble des suites absolument convergentes dont la norme d'un element est la somme totale de la suite considerée.


mika

En dimension finie, il est vrai qu'un sev d'un evn complet est complet. C'est faux en dimension infinie (penser à des espaces de fonctions).

dans un espace complet , tout ensemble fermé est complet .
Et comme en dimension finie , tout sous espace F d'un espace E est un fermé c'est acquis .

exemple de démo pour ce dernier point:
soit (e1 , ...,ep) une base de F , on la complète pour obtenir une base de E ( e1,...,ep,..,en)
soit alors Xn une suite de F qui converge vers L supposons que L ne soit pas dans F
alors L = ( l1 ,...lp , ,ln) avec l'existence d'un j > p tel que lj # 0
si on prend comme norme d'un vecteur X le sup !xi !
alors qlq soit n !! Xn-L !! > !lj !
et donc !! Xn- L!! ne peut tendre vers 0
d'où L est dans F donc F est un fermé .

Nota : comme en dimension finie toutes les normes sont équivalentes , la démo précédente ne dépend pas du choix de la norme .

Madec a écrit :dans un espace complet , tout ensemble fermé est complet .

Et on a même la réciproque!