Inductance & déplacement
Publié : 06 déc. 2008 20:01
Bonsoir,
Je souhaite terminer un exo de kholle de cette semaine pour préparer le DS sur l'induction. Je n'avais pas fini l'exo en kholle, et j'aimerais un petit coup de pouce! [il se peut que l'énoncé soit incomplet, je prie donc le kholleur, s'il me lit, de combler mes trous de mémoire
]
2) Ca se gâte ! Je ne savais pas de quoi partir, alors j'ai eu l'envie de calculer la résultante des forces de Laplace : $ \displaystyle d\vec{F_L}_{segment}=i\vec{dl}\wedge\vec{B} $ . J'ai donc besoin de connaître i, le courant parcourant le cadre : on l'obtient à partir de $ \displaystyle i=\frac{e}{R} $ où $ \displaystyle e=e_{ABCD}=-\frac{d\Phi}{dt} $. C'est gagné, on connaît tout.
Un pti calcul donne le flux du champ magnétique à travers le cadre :
$ \displaystyle \Phi=\iint_{cadre}\vec{B}.d\vec{S}=\int_{z=0}^a\int_{r=vt}^{vt+b}[B(r)\vec{u_{\theta}}].[dr dz (-\vec{u_{\theta}})] $
$ \displaystyle \Phi=-\frac{\mu_0Ia}{2\pi}\times\ell n\left(\frac{vt+b}{vt}\right)=-\frac{\mu_0Ia}{2\pi}\times\ell n\left(1+\frac{b}{vt}\right) $
En écrivant ces lignes, une question me vient : les bornes des intégrales ont-elles une importance ? Parce que j'ai choisi arbitraitement d'intégrer r sur [vt,vt+b] mais sur [vt+b,vt], ça change les signes, non ?
Bref, on accède à e : $ \displaystyle e(t)=-\frac{\mu_0Iab}{2\pi t(vt+b)} $ puis à i(t) : $ \displaystyle i(t)=-\frac{\mu_0Iab}{2\pi Rt(vt+b)} $
¤ On calcule maintenant les forces de Laplace sur chaque segment du cadre. On remarque que $ \displaystyle \vec{F_L}_{BA}=-\vec{F_L}_{DC} $
Sur les deux autres :
$ \displaystyle d\vec{F_L}_{AD}=i(t)(-dz\vec{u_z})\wedge B(vt)\vec{u_{\theta}}=i(t)dzB(vt)\vec{u_r} $
$ \displaystyle d\vec{F_L}_{CB}=i(t)(dz\vec{u_z})\wedge B(vt+b)\vec{u_{\theta}}=-i(t)dzB(vt+b)\vec{u_r} $
Paf, on sort i et B de l'intégrale et on intègre sur la longueur a, il sort : $ \displaystyle \vec{F_L}=-\frac{\mu_0Iab}{2\pi Rt(vt+b)}\times a\times\left(\frac{1}{vt}-\frac{1}{vt+b}\right)\vec{u_r} $
$ \displaystyle \vec{F_L}=-\frac{\mu_0Ia^2b^2}{2\pi Rvt^2(vt+b)^2}\vec{u_r} $
Cette force s'oppose au déplacement, c'est en accord avec la loi de Lenz. Sa puissance vaut $ \displaystyle \mathcal{P}(\vec{F_L})=-\frac{\mu_0Ia^2b^2}{2\pi Rt^2(vt+b)^2} $
Là c'est le drame, comment relier ça à la question ? Et pour la suite, j'imagine qu'il faut faire un DL en b/(vt) mais bon, ça ne sera valable qu'à partir d'un certain temps ...
Une petite aide serait la bienvenue !
Merci et bonne soirée
Je souhaite terminer un exo de kholle de cette semaine pour préparer le DS sur l'induction. Je n'avais pas fini l'exo en kholle, et j'aimerais un petit coup de pouce! [il se peut que l'énoncé soit incomplet, je prie donc le kholleur, s'il me lit, de combler mes trous de mémoire
]1) Pas de problème a priori : $ \displaystyle \vec{B}(r)=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\vec{u_{\theta}} $ (en coord cylindriques)On considère un cadre conducteur, de résistance R, qui se déplace à la vitesse constante $ \displaystyle \vec{v}=v\vec{u_r} $. Il s'éloigne d'un fil infini d'axe (Oz) parcouru par un courant $ \displaystyle I $. Un petit schéma parlant : cf bas du message
1) Calculer le champ magnétique crée par le fil en tout point de l'espace.
2) Calculer la puissance à fournir au cadre pour maintenir sa vitesse constante (*)
3) Quelles approximations peut-on faire .. (*)
(*) = énoncé approximatif ^^
(**) = énoncé plus qu'approximatif
2) Ca se gâte ! Je ne savais pas de quoi partir, alors j'ai eu l'envie de calculer la résultante des forces de Laplace : $ \displaystyle d\vec{F_L}_{segment}=i\vec{dl}\wedge\vec{B} $ . J'ai donc besoin de connaître i, le courant parcourant le cadre : on l'obtient à partir de $ \displaystyle i=\frac{e}{R} $ où $ \displaystyle e=e_{ABCD}=-\frac{d\Phi}{dt} $. C'est gagné, on connaît tout.
Un pti calcul donne le flux du champ magnétique à travers le cadre :
$ \displaystyle \Phi=\iint_{cadre}\vec{B}.d\vec{S}=\int_{z=0}^a\int_{r=vt}^{vt+b}[B(r)\vec{u_{\theta}}].[dr dz (-\vec{u_{\theta}})] $
$ \displaystyle \Phi=-\frac{\mu_0Ia}{2\pi}\times\ell n\left(\frac{vt+b}{vt}\right)=-\frac{\mu_0Ia}{2\pi}\times\ell n\left(1+\frac{b}{vt}\right) $
En écrivant ces lignes, une question me vient : les bornes des intégrales ont-elles une importance ? Parce que j'ai choisi arbitraitement d'intégrer r sur [vt,vt+b] mais sur [vt+b,vt], ça change les signes, non ?
Bref, on accède à e : $ \displaystyle e(t)=-\frac{\mu_0Iab}{2\pi t(vt+b)} $ puis à i(t) : $ \displaystyle i(t)=-\frac{\mu_0Iab}{2\pi Rt(vt+b)} $
¤ On calcule maintenant les forces de Laplace sur chaque segment du cadre. On remarque que $ \displaystyle \vec{F_L}_{BA}=-\vec{F_L}_{DC} $
Sur les deux autres :
$ \displaystyle d\vec{F_L}_{AD}=i(t)(-dz\vec{u_z})\wedge B(vt)\vec{u_{\theta}}=i(t)dzB(vt)\vec{u_r} $
$ \displaystyle d\vec{F_L}_{CB}=i(t)(dz\vec{u_z})\wedge B(vt+b)\vec{u_{\theta}}=-i(t)dzB(vt+b)\vec{u_r} $
Paf, on sort i et B de l'intégrale et on intègre sur la longueur a, il sort : $ \displaystyle \vec{F_L}=-\frac{\mu_0Iab}{2\pi Rt(vt+b)}\times a\times\left(\frac{1}{vt}-\frac{1}{vt+b}\right)\vec{u_r} $
$ \displaystyle \vec{F_L}=-\frac{\mu_0Ia^2b^2}{2\pi Rvt^2(vt+b)^2}\vec{u_r} $
Cette force s'oppose au déplacement, c'est en accord avec la loi de Lenz. Sa puissance vaut $ \displaystyle \mathcal{P}(\vec{F_L})=-\frac{\mu_0Ia^2b^2}{2\pi Rt^2(vt+b)^2} $
Là c'est le drame, comment relier ça à la question ? Et pour la suite, j'imagine qu'il faut faire un DL en b/(vt) mais bon, ça ne sera valable qu'à partir d'un certain temps ...
Une petite aide serait la bienvenue !
Merci et bonne soirée
intégrer sur z et r tous deux croissants
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