Exos sympas MP(*)

[oty20]

Publié sur twitter, par Mr Mansuy

[fakbill]

Certes mais ça n'en donne pas la solution.

[Contrexemple]

Salut,

@Oty : celui là, si tu le trouves autre part sur le net publier avant date de ce post, alors j'en donne la solution aussi.

A-t-on $$\sup\{\int_0^1f(x)g(x)dx-\int_0^1 f(x)dx \times \int_0^1 g(x)dx\text{ : }(f,g)\in A^2\}=\dfrac{1}{12}$$ ?

$A$ l'ensemble des fonctions réels 1-lipschitziennes.

[Contrexemple]

Soit $L$ forme linéaire continue, non nulle, de $C([0,1])$ munit de la norme uniforme et tel que :
$$\forall f,g \in C([0,1]), L(f \times g)=L(f) \times L(g) $$.

A-t-on $\exists x_0 \in [0,1], \forall f\in C([0,1]), L(f)=f(x_0)$ ?

[lsjduejd]

Soit $P=\sum_{k=0}^{n}{a_k*X^k}$ un polynôme unitaire de $\mathbb{C}[X]$ avec $a_0 \neq 0$ de degré $n>1$. On note $E$ l'ensemble des racines de $P$.

On suppose que $\forall \lambda \in E, \forall k \in \{0;..;n\}, \frac{a_k}{(-\lambda)^{n-k}}\in\mathbb{N}$.
Montrer que $\#E=1$.

[E3A 4ever]

Soit $L$ forme linéaire continue, non nulle, de $C([0,1])$ munit de la norme uniforme et tel que :
$$\forall f,g \in C([0,1]), L(f \times g)=L(f) \times L(g) $$.

A-t-on $\exists x_0 \in [0,1], \forall f\in C([0,1]), L(f)=f(x_0)$ ?

SPOILER:

Non, il suffit de prendre x_0 et x_1 tous deux différents et de considérer L(f)=f(x_0)*f(x_1). À noter qu'en revanche, par compacité de [0,1], si on avait rajouté la condition L(f+g)=L(f)+L(g), cela aurait été vrai (on peut déterminer les morphismes d'anneaux continus de C^0(K,R) dans R lorsque K est compact).
Edit: mea culpa, je n'avais pas vu forme linéaire dans l'énoncé. Je rectifie: c'est vrai, il faut se servir de la propriété de Borel Lebesgue de la compacité de [0,1], je rédigerai une preuve tout à l'heure (l'hypothèse forme linéaire est même un peu forte de fait)
Bon je fais court: L étant un morphisme d'anneau et une forme linéaire non nulle, son noyau est un idéal I de C^0([0,1],R) et un hyperplan. En particulier, comme I n'est pas tout C^0([0,1],R) car L est non nulle, on a x_0 tel que pour tout f dans I, f(x_0)=0 (par l'absurde sinon on peut recouvrir [0,1] par des intervalles ouverts où au moins un élément de I ne s'annule pas, en prendre un sous-recouvrement fini par compacité et considérer la somme des carrés des éléments correspondants qui ne s'annulent pas sur chaque voisinage (en nombre fini), qui ne s'annule pas sur [0,1] et est dans I, et inversible, absurde. Finalement on considère E(x_0): f|->f(x_0) qui coïncide avec L sur l'hyperplan I=Ker L ce qui impose E(x_0)=lambda*L, et puisque E(x_0) est non nulle, lambda est non nul, et on a par ailleurs lambda=1 en regardant E(x_0)(f^2) avec E(x_0)(f) non nul. Comme je l'ai signalé, on peut se contenter de prendre pour hypothèse morphisme d'anneau continu et montrer que cela impose L linéaire.

[Contrexemple]

Salut,

Un peu d'analyse fonctionnelle :
$ $
On se place dans $E=C_b(\mathbb R)$ l'ensemble des fonctions continues bornées sur les réels.

A-t-on l'existence d'une suite réel $(a_n)$ qui forme une série absolument convergente et $(A_n)$ une suite de réels, tel que $$\forall f\in E,\forall x\in\mathbb R, f(0)=\sum \limits_{n\in \mathbb N} a_n\times f(x+A_n)$$ ?




Un peu d'algébre linéaire :
Soit $n\in\mathbb N^*$.

Existe-t-il $U\subset \mathbb R^n$ avec $\text{card}(U)=2^n$ et $\forall V\subset U,\text{card}(V)=n$ alors $V$ est une base de $\mathbb R^n$ ?



Remarque : les autres énigmes ont trouvé réponse, dans mathoverflow ou aops.

[autobox]

Supposons trouvées deux suites a et A telles que blablabla

En prenant f constante égale à un élément inversible de l'anneau d'arrivée ($\mathbb{R}$, je suppose ?), il vient $\sum a_n = 1$. L'égalité se réécrit donc $\sum a_n(f(x+A_n)-f(0)) = 0$

En prenant f dérivable bornée telle que f' soit une densité de probabilité, si U est une variable aléatoire de densité f', on doit pouvoir montrer (interversion intégrale/série, fubini, changement de variable) sans trop de difficultés que $P(U\leqslant -x) = \sum a_nP(U\leqslant A_n)$, pour tout x.

En utilisant la continuité de la fonction de répartition de U (qui est f!) et en faisant tendre x vers $+\infty$ et $-\infty$ on trouve que $0 = \sum a_nP(U\leqslant A_n) = 1$, ce qui est absurde dans un anneau non nul

[Contrexemple]

Salut,



Soit $f : x\rightarrow x^2+1$. Calculer $(f^{2022})^{(100)}(1) \mod 2^{89}-1$.

PS : $f^2=f\circ f$ et $f^{(2)}=f''$
Pas besoin de faire le calcul, il suffit juste de proposer un algo de complexité raisonnable.


La part du lion :
Soient $f_1,...,f_n\in C([0,1],\mathbb R_+^*)$.

A-t-on l'existence de $\sigma$ une permutation de $\{1,..,n\}$ et $0=a_0<a_1<...<a_n=1$ tels que $$\int_{a_{i-1}}^{a_i}f_{\sigma(i)}(x)dx\geq \dfrac{1}{n}\int_0^1 f_{\sigma(i)} (x)dx\text{ pour }i\in \{1,...,n\}$$ ?

[oty20]

Soit $f$ une fonction de classe $C^{3}$ telle que $f'''(x)\geq0$ pour tout $x$ et $f(n)\sim f(n+1)$ . Montrer que:
$$\lim_{t\to1^-}\sum_{n=0}^\infty(-1)^nt^{f(n)}=\frac12$$