Exos sympas MP(*)

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 25 avr. 2022 19:24

Salut

Quelle est la nature de $$\sum\limits_{n\geq 1}\dfrac {\cos(\sqrt n)} {\sqrt n} $$?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par certus » 27 avr. 2022 23:24


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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 29 avr. 2022 17:10

Le déterminant fonctionnel ?

Existe-t-il $H \subset C(\mathbb R) $ sev, et $L$ forme linéaire non triviale sur $H$, tel que : $L(f\circ g)=L(f)\times L(g)$ et $\dim(H)=\infty$ ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Leo11 » 01 mai 2022 19:58

Contrexemple a écrit :
10 févr. 2022 13:30
Un peu de proba.$ $

$ T_n $ v.a. correspondant au nombre maximum de 1 consécutifs dans un tirage equiprobable de n, 0 et 1.

Par exemple si on tire 01110 pour n=5 alors pour ce tirage on a $ T_5$ qui a pour valeur 3.

Calculer la valeur exacte de $2^{100} \times E (T_{100}) $.

Edit : j'ai été trop gourmand, au lieu de mille je mets 100.
Cet exo date mais j'ai pris du plaisir à le résoudre

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def g(L,n,m):
    if(n<0):
        n=0
    if n<m:
        return L[n][n]
    else:
        return L[n][m]

def f(n):
    A=[[1],[1,2],[1,3,4],[1,5,7,8],[1,8,13,15,16]]
    while(n>=len(A)):
        L=[1]
        u=0 #u = nombre de 1 consécuifs maximal de la chaîne
        p=0 #p = position du premier 1 de la chaîne de 1 la plus longue
        v=1
        for u in range(1,len(A)+1,1):
            for p in range(0,len(A)-u+1):
                if(p<=1):
                    v = v + g(A,len(A)-(p+u+1),u)
                elif(p+u>=len(A)-1):
                    v = v + g(A,p-1,u-1)
                else:
                    v = v + g(A,p-1,u-1)*g(A,len(A)-(p+u+1),u)
            L.append(v)
        A.append(L)
    return(A)

def reponse(n):
    A=f(n)
    i=0
    c=0
    for i in range(n):
       c=c+(i+1)*(A[n][i+1]-A[n][i])
    return(c)

reponse(100)
Pour 100, ça calcule en 0.16s
Pour 1000, en 75s

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 01 mai 2022 20:58

Déterminer un moyen de calculer, en moins de 5 minutes, pour $A \subset [0,100]\cap \mathbb N$ : $\text{card}(\bigcup \limits_{n \in A} G_n)$

avec $G_n$ le sous groupe d'ordre $2^n\times 3^{100-n}$ de $\mathbb Z/6^{100}\mathbb Z$

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Yeph » 04 mai 2022 02:04

Contrexemple a écrit :
29 avr. 2022 17:10
Le déterminant fonctionnel ?

Existe-t-il $H \subset C(\mathbb R) $ sev, et $L$ forme linéaire non triviale sur $H$, tel que : $L(f\circ g)=L(f)\times L(g)$ et $\dim(H)=\infty$ ?
Ce problème m'a énervé, avant de me rendre compte que je le prenais pas du bon côté :D
SPOILER:
On prend $H = \{ f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})~|~f(0)=0\}$ et $L(f) = f'(0)$. On a alors $L(f\circ g) = g'(0)\times f'\circ g (0) = g'(0)f'(0) = L(f)L(g)$.

Par ailleurs, c'est très drôle, mais dans le cas général, on peut montrer que si on a $H$ sev quelconque stable par composition (ça manquait dans les hypothèses), et $L$ une forme linéaire tel que définie, alors on prend $u$ tel que $L(u) = 1$ (puisque $L$ non-trivial), et on a alors $u(\mathbb{R})$ qui est un intervalle $I$, et pour $y \in I$, on a $u(y) = y$. Ce qui donne un joli exo de khôlle je trouve !

Et maintenant je me pose la question de savoir si c'est possible de trouver une $L$ continue.
Dernière modification par Yeph le 04 mai 2022 02:10, modifié 1 fois.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Yeph » 04 mai 2022 02:33

Pour continuer, je propose un exercice tout à fait classique mais toujours bon à refaire. Soit $a < b$ des réels et $\omega : [a;b] \rightarrow \mathbb{R}^{+*}$ continue. On définit $E$ l'ensemble des fonctions continues sur $[a,b]$, et $(\cdot|\cdot)$ la forme suivante :

\[ \forall (f,g)\in E^2, (f|g) = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\mathrm{d}x \]

1. Montrer que $(\cdot|\cdot)$ est un produit scalaire.
2. Montrer qu'il existe une unique base orthonormale de $\mathbb{R}[X]$ faite de polynômes unitaires à degrés étagés.

On note cette base $(P_n)$.

3. [La vraie question] Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $P_n$ admet $n$ racines simples dans $]a,b[$ et que les racines de $P_{n+1}$ sont entrelacées dans celles de $P_n$.
Dernière modification par Yeph le 04 mai 2022 02:34, modifié 1 fois.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 13 juin 2022 09:49

Salut,
$ $
un peu de théorie des groupes :

$G$ un groupe fini simple tel que $A\subset G$, $B\subset G$ avec $<A>\neq G$, $<B> \neq G$ et $<A \cup B>=G$. A-t-on $<A> \cap <B>=\{e\}$ ?

PS : $e$ l'élement neutre de $G$.


Motivation : si c'est vrai quand : $G$ groupe fini simple non commutatif, avec $G=<a_1,...,a_n>$ et $\forall i=1...n,G\neq <a_j; j\neq i \text{ et } j\in \{1,...,n\}>$ alors $n=2$

c'est à dire : dim(G)=2 quand G groupe fini simple non commutatif.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par yarama098 » 29 juin 2022 18:22

Yeph a écrit :
04 mai 2022 02:33
Pour continuer, je propose un exercice tout à fait classique mais toujours bon à refaire. Soit $a < b$ des réels et $\omega : [a;b] \rightarrow \mathbb{R}^{+*}$ continue. On définit $E$ l'ensemble des fonctions continues sur $[a,b]$, et $(\cdot|\cdot)$ la forme suivante :

\[ \forall (f,g)\in E^2, (f|g) = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\mathrm{d}x \]

1. Montrer que $(\cdot|\cdot)$ est un produit scalaire.
2. Montrer qu'il existe une unique base orthonormale de $\mathbb{R}[X]$ faite de polynômes unitaires à degrés étagés.

On note cette base $(P_n)$.

3. [La vraie question] Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $P_n$ admet $n$ racines simples dans $]a,b[$ et que les racines de $P_{n+1}$ sont entrelacées dans celles de $P_n$.
1) évident ( juste argument continuité pour justifier que P est nul dans la partie définie positive)

2) il nous suffit de montrer qu’il existe une famille (Pn) de polynôme telle que pour
tout n appartenant a N, (P0, ..., Pn) est une famille orthonormale à degrés échelonnés ; nous construisons une telle famille par récurrence

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par fakbill » 07 juil. 2022 11:09

$ \int_{0}^{-\infty} \frac{dt}{(1+t^\varphi)^\varphi} =1 $
avec phi le ""nombre d'or"".

Je ne sais pas à quel point c'est pénible à prouver mais je trouve ça joli.
Pas prof.
Prépa, école, M2, thèse (optique/images) ->ingé dans le privé.

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