Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par certus » 07 janv. 2023 18:59

oty est-ce que c’est un exo de concours ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 09 janv. 2023 01:02

C'est un AMM, vous pouvez consulter ce lien pour la solution officiel que je trouve personnellement manque de clarté.


https://artofproblemsolving.com/communi ... 0p26796494
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 04 avr. 2023 23:38

Salut,


Fibonacci et le nombre de Graham :

Soient $(F_n)_n$ la suite de Fibonacci et $G$ le nombre de Graham. Calculer $F_G \mod (2^{89}-1)$

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Graham


Des entiers plein la tête :

Soit $n \in\mathbb N^*$.

Déterminer les fonctions surjectives $f: \mathbb N \rightarrow \{0,...,n-1\}=E $ tel qu'il existe $g,h$ fonctions de $E^2$ dans $E$
avec $\forall ( m,k) \in\mathbb N^2,f(m+k)=g(f(m),f(k)),f(m\times k)=h(f(m),f(k))$.



Plein les sinus :

Soit $f\in C([0,1],\mathbb R)$.

Existent-ils $(a_k)_k$ termes généraux d'une série absolument convergente et $b$ réel tels que :
$\forall x\in [0,1], f(x)=b+\sum \limits_{k=0}^\infty a_k\sin^k(x)$

PS : $\sin^2(x)=\sin \circ \sin (x)$


Convexité d'ordre supérieure :

Soit $f \in C^n(\mathbb R)$. Trouver une CNS sur $f$ avec : $f^{(n)} \geq 0$ ssi $CNS(f)$

PS : la condition $CNS(f)$ existe même si $f \in C(\mathbb R)$, et on note $g^{(1)}(x)=g'(x)$


Monotonie stricte ou non :

Soit $f\in C([0,1],[0,1])$.

1) on suppose $f\circ f$ monotone. A-t-on $f$ monotone?

2) on suppose $f\circ f$ strictement monotone. A-t-on $f$ strictement monotone?


Une equation diophantienne :

Résoudre pour $(x,y) \in \mathbb Z^2$ : $3+xy^2+y+x^2=0$.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par certus » 16 avr. 2023 22:31

Pour 3+xy^2+y+x^2=0 sur les entiers (x,y)=(-9,-3) ou ( 0,-3)

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 23 mai 2023 20:06

Bonjour,


le compte est bon :

On dispose des nombres entiers de 1 jusqu'à 100.

En utilisant l'addition seulement et chaque nombre au plus une fois, combien y-a-t-il de manière diffèrente d'obtenir 2023 ?
$ $

Courbe elliptique :

Déterminer les solutions entières de $y^2=x^3+2x+5$.


Inégalité intégrale :
Soit $f \in C^1([0,1])$ et $\int_0^1 f =0$.

A-t-on $$\left| \int_0^1f(x)\times \exp(x)\text{d}x \right| \leq ||f'||_\infty\times \dfrac{||f||_\infty+1}{7}$$?


Divisibilité :

Soient $(a,n,k)\in(\mathbb N^*)^3$ avec $\gcd(n!,k)=1$. A-t-on $n!|\prod \limits_{i=1}^n(a+i\times k)$?

PS : les énigmes que j'ai effacé, ont été résolues sur aops ou mathoverflow.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Borelien11 » 25 mai 2023 00:29

Bonjour les jeunes

Un exo hyper difficile

Soit n un entier positif. Au plus combien de vecteurs unitaires distincts peuvent être sélectionnés dans Rn tel que de trois d’entre eux, au moins deux sont orthogonaux?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 26 mai 2023 11:13

Bon courage pour les oraux.
$ $
Nature de séries :

Soit $(a_n)_n$ une suite croissante réelle, non nul avec $\lim a_n=+\infty$. A-t-on $\sum \limits_{n\in\mathbb N}\dfrac{\cos(n+a_n)}{a_n^2}$ converge?


Calcul impossible :

Déterminer les 3 premiers chiffres de $2^{2^{2023}}$.


La super inégalité triangulaire :

On se place dans le plan eulclidien. Soit $ABC$ un triangle et $D$ un point dans $ABC$.

A-t-on $AB+BC \geq AD+DC$ ?


Un résultat étrange sur les fonctions lipschitziennes :

Soit $f\in C(\mathbb R^n,\mathbb R^n)$ lipschitizian.

Montrer que $\exists B >A,\exists \gamma \in C([A,B],\mathbb R^n)$ avec $\forall t\in [A, B], f(\gamma(t))=t\gamma(t)$


Travail en series :

Soit $(a_n)_n \in (\mathbb R_+^*)^{\mathbb N}$ avec $\sum\limits_{n\in\mathbb N} a_n=+\infty$. A-t-on $\sum \limits_{n\in\mathbb N} \dfrac{a_n}{\sum \limits_{k=0}^n a_k} =+\infty$ ?


Série limitée :

Existe-t-il $(a_n)_n \in (\mathbb R^*_+)^{\mathbb N}$ avec $\sum a_n=+\infty$, et $\forall (b_n)_n \in \mathbb R^{\mathbb N}$ tel que $\lim b_n=0$ alors $\sum a_n\times b_n$ converge ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 26 juil. 2023 18:46

Salut,


L'équivalent impossible :

Déterminer un equivalent de $\sum \limits_{k=0}^n (\sin(k^{1/3}))^2$.


Equations fonctionnelles :

a) Y a t il une fonction $f$, non constante, continue périodique telle que $\forall x \in \mathbb R, f(2x)=3 f(x) \times (1-f(x))$


b)Y a t il une fonction $f$, non constante, continue périodique telle que $\forall x \in \mathbb R, f(2x)=4 f(x) \times (1-f(x))$


Bonne recherche.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par certus » 16 août 2023 08:50

Pour l’équivalent sin^2(k^(1/3)) = 1/2 - 1/2cos(2k^(1/3)) puis Euler-Maclaurin

Trois premiers chiffres de 2^(2^2023) est 115


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