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Bonjour,

Partant de l'idée de Shy, avec son topic "Exos symphas MPSi" (sic !) qui est maintenant dans les oubliettes du forum, je vous propose un nouveau topic, pour ceux qui voudraient faire autre chose pendant cette période de révision (un clin d'oeil à Madec).

Au hasard, un exercice pour commencer:

Niveau intermédiaire a écrit : Existe -t-il une norme $ N $ sur $ M(n, \mathbb{C}) $ tel que pour tout $ A $ et $ B $ semblables, $ N(A)=N(B) $ ?

$ N:M_{n}(C) \rightarrow C $
$ A \rightarrow tr(^{t}\bar A.A) $
C'est une norme car $ <A,B> = tr(^{t}\bar A.B) $ est un produit scalaire hermitien (si ma mémoire est bonne). (mais N n'est pas la norme associée à <.,.>, ce serait plutôt la racine de N qui le serait, mais la racine d'un nombre complexe, c'est pas évident à déterminer.)
Enfin, deux matrices semblables ont même trace, donc A et B ont même norme.

Thaalos a écrit :$ N:M_{n}(C) \rightarrow C $
$ A \rightarrow tr(^{t}\bar A.A) $
C'est une norme car $ <A,B> = tr(^{t}\bar A.B) $ est un produit scalaire hermitien (si ma mémoire est bonne). (mais N n'est pas la norme associée à <.,.>, ce serait plutôt la racine de N qui le serait, mais la racine d'un nombre complexe, c'est pas évident à déterminer.)
Enfin, deux matrices semblables ont même trace, donc A et B ont même norme.

Ce qu'il faut prouver pour utiliser ton argument et conclure, c'est que si A et B sont semblables alors $ ^{t}\bar A.A $ et $ ^{t}\bar B.B $ sont également semblables.

Eti-N a écrit :

Thaalos a écrit :$ N:M_{n}(C) \rightarrow C $
$ A \rightarrow tr(^{t}\bar A.A) $
C'est une norme car $ <A,B> = tr(^{t}\bar A.B) $ est un produit scalaire hermitien (si ma mémoire est bonne). (mais N n'est pas la norme associée à <.,.>, ce serait plutôt la racine de N qui le serait, mais la racine d'un nombre complexe, c'est pas évident à déterminer.)
Enfin, deux matrices semblables ont même trace, donc A et B ont même norme.

Ce qu'il faut prouver pour utiliser ton argument et conclure, c'est que si A et B sont semblables alors $ ^{t}\bar A.A $ et $ ^{t}\bar B.B $ sont également semblables.

Sauf que je ne suis pas sûr que ce soit vrai.
Je comptais éditer mon post une fois la justification trouvée, mais je n'ai pas encore réussi à en trouver une.

Thaalos a écrit :N:M_{n}(C) \rightarrow C
A \rightarrow tr(^{t}\bar A.A)
C'est une norme car <A,B> = tr(^{t}\bar A.B) est un produit scalaire hermitien (si ma mémoire est bonne). (mais N n'est pas la norme associée à <.,.>, ce serait plutôt la racine de N qui le serait, mais la racine d'un nombre complexe, c'est pas évident à déterminer.)
Enfin, deux matrices semblables ont même trace, donc A et B ont même norme.

Est ce que ce que tu as écrit est une réponse valable selon toi ?
A* et B* ne sont pas semblable avec une même matrice de passage que celle de A vers B. Donc ton produit scalaire ne marche clairement pas.

( Enfin, vaut mieux se relire avant de poster! )

Thaalos a écrit :Sauf que je ne suis pas sûr que ce soit vrai.
Je comptais éditer mon post une fois la justification trouvée, mais je n'ai pas encore réussi à en trouver une.

Vu les pistes choisies, je ne peux que donner une indication:

hint a écrit :La réponse est (naturellement) négative en dimension supérieure ou égale à 2. (si une telle norme éxistait, elle aurait été trop belle pour qu'on continue à travailler avec la norme usuelle). Le cas de la dimension 1 est sans intérèt ( Je ne connais pas beaucoup de complexes qui sont semblables ... toutes les normes marchent !).
Pour répondre dans le cas des dimensions supérieurs ou égales à 2:
Trouver un contrexemple (intelligent) en dimension 2 et l'adapter aux dimensions plus grandes.

Tu veux trouver un contre exemple ?
Comment trouver un contre exemple à une propriété qui utilise un il existe ?
À moins que ton contre exemple ne vise ma "norme", auquel cas on peut arrêter, elle est effectivement fausse.

Vu comment la question est posée, on est tenté de répondre négativement.

hint a écrit :
Une piste, serait d'obtenir une contradiction à partir de l'homogénéité de la norme : il suffirait de trouver des matrices proportionnelles ( de coeff de proportionnalité de module différent de 1) semblables. Est-ce possible ? Que deviennent les valeurs propres d'une matrice quand on la multiplie par $ \lambda $ ? C'est donc foutu, sauf si les valeurs propres de la matrices sont toutes...nulles ! On va donc chercher dans les matrices nilpotentes. Bon je m'arrête la, il n'est pas difficile de trouver une telle matrice

Edit : Caché ma réponse pour ceux qui veulent chercher

Thaalos a écrit :Comment trouver un contre exemple à une propriété qui utilise un il existe ?

Je n'ai pas été très explicite c'est vrai. Supposer qu'il existe une telle norme et trouver des matrices semblables pour lesquels, ça ne marche pas.

shindara a écrit :Une piste, serait d'obtenir une contradiction à partir de l'homogénéité de la norme

Par exemple .

La question n'est pas difficile si on prend le temps de lire l'énoncé, un minimum !

Shindara a écrit :Vu comment la question est posée, on est tenté de répondre négativement.
Une piste, serait d'obtenir une contradiction à partir de l'homogénéité de la norme : il suffirait de trouver des matrices proportionnelles ( de coeff de proportionnalité de module différent de 1) semblables. Est-ce possible ? Que deviennent les valeurs propres d'une matrice quand on la multiplie par $ \lambda $ ? C'est donc foutu, sauf si les valeurs propres de la matrices sont toutes...nulles ! On va donc chercher dans les matrices nilpotentes. Bon je m'arrête la, il n'est pas difficile de trouver une telle matrice

Pourquoi forcément chez les matrices nilpotentes ?
Car deux matrices proportionnelles (avec le module du coeff de proportionnalité différent de 1) n'ont pas même trace donc ne sont pas semblables ?