Thermodynamique

[Fred1]

Bonjour à tous,

Je tente de trouver les points communs entre chaleur et travail mais aussi leurs différences et le lien qu'ils sont avec les expériences historiques (Celle de Joule, Joule Gay Lussac)
Points communs:
correspondent tous les deux à des transferts d'énergie
ils sont équivalents (premier principe)
quantités, formes différentielles sur le plan mathématique

Différences
Travail : mode de transfert ordonné alors que Chaleur désordonné
on peut transformer entièrement un travail en chaleur mais pas l'inverse.

En connaissez-vous d'autres?
Tout ceci parce que je ne suis pas sûr de bien cerner les concepts à chaque fois...

Merci d'avance.

[ET]

[ DES BÊTISES SUPPRIMÉES ]

[SL2(R)]

Si, il s'agit bien du langage mathématiquement correct, qui nécessite de bien distinguer les concepts de "différentielle" et de "forme différentielle", qui ne coïncident pas !


Prenons un exemple à deux dimensions : une forme différentielle (de degré un) est une expression mathématique du type :

$ \omega = P(x,y) \, dx + Q(x,y) \, dy $

où $ P $ et $ Q $ sont deux fonctions. Par exemple, pour décrire un fluide d'équation d'état $ F(P,V,T) = 0 $, le choix de variables indépendantes $ (T,V) $ conduira le physicien a écrire le transfert thermique élémentaire comme la forme différentielle suivante:

$ \delta Q = C_V \, dT + l \, dV $

où $ C_V(T,V) $ et le "coefficient calorimétrique" $ l(T,V) $ jouent le rôle des deux fonctions $ P $ et $ Q $ du matheux.


Mathématiquement, si les deux fonctions $ P $ et $ Q $ sont a priori quelconques, $ \omega $ n'est en général pas une différentielle, i.e. il n'existe en général pas de fonction $ f(x,y) $ telle que $ \omega = df $
(une telle fonction serait la "fonction d'état" du physicien).

La condition pour que $ \omega = df $ (au moins localement) est : $ {\partial P \over \partial y} = {\partial Q \over \partial x} $. Les matheux la notent symboliquement : $ d \omega = 0 $, où d est l'opérateur de dérivation extérieure.

La terminologie mathématique est alors la suivante :

• - lorsque $ d\omega = 0 $, on dit que la forme différentielle $ \omega $ est fermée ;
  - lorsque $ \omega = df $, on dit que la forme différentielle $ \omega $ est exacte (le physicien parle parfois de "différentielle totale" (*), voir de "différentielle totale exacte").

On a les résultats :

• - une forme exacte est toujours fermée (l'opérateur de dérivation extérieure est nilpotent : $ d^2 = 0 $) ;
  - une forme fermée est localement exacte ("lemme de Poincaré").

(*) Georges Bruhat ; Thermodynamique, Masson (6ème édition-1968) ; cf. chapitre VIII : pp. 113-121.

[Fred1]

Merci pour vos réponses.
Effectivement, j'ai bien fait la nuance entre forme différentielle et différentielle totale exacte.

[ET]

Sorry, pas moi

[Fred1]

Il n'y a aucune raison de . On a le droit de ne pas savoir. En ce qui me concerne, j 'utilise à fond ce droit....

[fakbill]

Je n'arrive pas à voir ce que veux dire la condition "pour que \omega = df (au moins localement) est : {\partial P \over \partial y} = {\partial Q \over \partial x}." avec les main.

Genre ca lui arrive souvent à une forme diff qq d'être fermée/exacte? Ou c'est très fort comme condition?

Ca a qqch à voir avec ca?
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or ... de_Schwarz

Si ma diff est fermée/exacte j'en déduis quoi de bien?

[SL2(R)]

Dans $ \mathbb R^3 $ , on peut voir tout ça naïvement comme une simple "reformulation" math/physique avec un vocabulaire différent. Par exemple, en mécanique, le travail élémentaire pour un champ de force $ \vec{F}(M) $ quelconque est une forme différentielle de degré un (1-forme) :

$ \delta W = \vec{F}(M) \cdot \vec{dM} $

Pour les bonnes fonctions f, le théorème de Schwarz entraine que : $ \vec{\text{rot}} \, (\vec{\text{grad}} f) $. On a la condition inverse ("lemme de Poincaré") :

$ \forall M \in \mathbb R^3, \ \vec{\text{rot}} \, \vec{F}(M) = \vec{0} \quad \Longrightarrow \quad \vec{F}(M) = - \ \vec{\text{grad}} \, E_P(M) $

• * $ \vec{\text{rot}} \, \vec{F}(M) = \vec{0} $ traduit le fait que la 1-forme "travail élémentaire" est fermée ; pour un champ de force $ \vec{F}(M) $ pris "au hasard", cette condition n'a a priori aucune raison d'être vérifiée, donc oui, c'est une contrainte forte sur le champ de force, qui doit être irrotationnel en tout point de $ \mathbb R^3 $ (*).
  
  * $ \vec{F}(M) = - \ \vec{\text{grad}} \, E_P(M) $ traduit le fait qu'une 1-forme "travail élémentaire" fermée est alors exacte : il existe une énergie potentielle (scalaire = 0-forme) telle que $ \delta W = - \, dE_P $, avec les conséquences physiques habituelles (le travail fini est indépendant du chemin suivi entre les deux extrémités, etc).

Les matheux préfèrent le langage des formes différentielles notamment parce que ce formalisme se généralise immédiatement à $ \mathbb R^n $ pour n quelconque (**), alors que le rotationnel n'existe qu'en dimension trois. Ce formalisme trouve des applications en physique théorique.

SPOILER:

Lorsqu'on veux introduire une formulation covariante pour l'électrodynamique classique dans l'espace-temps de Minkowski à quatre dimensions (1+3), il est commode d'utiliser les formes différentielles : le quadri-potentiel $ A_{\mu} \ (\mu = 0,1,2,3) $ est associé à une 1-forme $ A = A_{\mu} \, dx^{\mu} $, et le "tenseur de Faraday" (de composantes $ F_{\mu \nu} = \partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu} $) est associé à une 2-forme $ F $ qui est la dérivée extérieure de $ A $. En effet, le jeu des deux équations de Maxwell sans sources peut s'écrire de façon compacte : $ dF = 0 $, i.e. la 2-forme $ F $ est fermée, donc - par le lemme de Poincaré - exacte : $ F = dA $

Un avantage de cette formulation est qu'il existe caché derrière une interprétation géométrique très intéressante ...

Toutes ces idées peuvent se généraliser aux théories de jauges non Abéliennes (comme celles utilisées dans la cadre du Modèle Standard de la physique des particules).

(*) Si le champ vectoriel $ \vec{F}(M) $ n'est défini que sur un ouvert de $ \mathbb R^3 $, des subtilités topologiques peuvent s'introduire, et une forme fermée n'est alors en général que localement exacte ; ceci conduit en maths à la théorie de la "cohomologie de de Rham".

(**) le formalisme se généralise aussi aux variétés courbes, ce qui est utile pour inclure la gravitation relativiste.