Dans un exercice, il m'est demandé de calculer $ A^n $ tel que $ A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right) $.
On a vu dans un exercice une méthode pour calculer les puissances de ces matrices : on les décompose en une somme de deux termes, l'un est une matrice unitaire : $ I_n $, l'autre, $ B $, la complète pour obtenir celle de départ, on peut ensuite utiliser la formule du binôme de Newton. Dans les cas que l'on avait vu en exercice, la matrice $ B $ était facile à calculer, car elle s'annulait à partir d'une certaine puissance.
Dans le cas de ma matrice $ A $, j'ai essayé deux décompositions différentes :
la première fois j'ai utilisé $ A=I_3+B $ avec $ B=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $, mais la matrice $ B $ ne s'annule pas lorsqu'on l'élève en puissance.
la deuxième fois, j'ai décomposé ainsi : $ A=2\times I_3+B' $ avec $ B'=\left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $, mais là, à partir de la puissance 2 j'ai $ B'=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $. Là non plus, ça ne s'annule pas...
Je ne vois donc pas comment calculer $ A^n $, si quelqu'un pouvait m'indiquer une piste, ce serait super !
Merci d'avance !
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