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Bonjour,

Je me suis toujours posé une question sur le terme bijection :

Je donne la définition que je connais du mot bijection :

l'application $ f : E \rightarrow F $ est une bijection si pour tout élément $ \alpha $ de $ F $ admet un seul et unique antécédent $ a $ de $ E $.

Or lorsque nous avons étudié la fonction exponentielle en classe, la prof nous a dit :

La fonction exponentielle qui a tout $ x \in \mathbb{R} $ associe $ e^x \in \mathbb{R^{*+}} $ est une bijection de $ \mathbb{R} $ vers $ \mathbb{R^{*+}} $

.

Or, ça me pose un problème :
Cela signifie que : $ \forall c \in \mathbb{R^{*+}} \quad \exists! \alpha \in \mathbb{R} $ tel que $ e^{\alpha}=c $

Mon problème ? C'est que $ \mathbb{R} $ contient plus d'élément que $ \mathbb{R^{*+}} $ (enfin pour moi, peut-être ai-je tort et donc mon problème ne se pose plus).

En effet, si la fonction exponentielle est effectivement une bijection de $ \mathbb{R} $ vers $ \mathbb{R^{*+}} $, alors si on prend n'importe quel valeur du premier ensemble, on doit en trouver une différente en faisant l'image de cette valeur par la fonction exponentielle... Or, pour moi il y a plus de valeurs dans le premier ensemble que dans le deuxième. (Je pars du principe que $ \mathbb{R^{*+}} \subset \mathbb{R} $ avec $ \mathbb{R}= ]-\infty;0] \cup ]0;+\infty[ $

Quelqu'un pour m'expliquer ? (Peut-être ai je peut-être tout faux aussi).

Merci beaucoup.

Tu es avec des ensembles infinis, donc ta notion il y a plus d'éléments dans R+* que dans R est faussée.
On dit que deux ensembles sont équipotents ssi il existe une bijection entre les deux ensembles considérés. Deux ensembles équipotents et finis ont le même nombre d'éléments. Dans le cas d'ensembles infinis, ils ont un "même infini" d'éléments. Par exemple, Cantor a démontré, avec l'argument de la diagonale de Cantor, que R et N ne sont pas équipotents, bien qu'ils soient tous deux infinis. Ils ne possèdent pas le "même infini".

Par contre, pour revenir à ton problème, il est aisé de construire une bijection de n'importe quel intervalle de R sur R. Donc tout intervalle de R est "aussi grand" que R.

Abelmondo a écrit :Tu est avec des ensembles infinis, donc ta notion il y a plus d'éléments dans R+* que dans R est faussée.
On dit que deux ensembles sont équipotents ssi il existe une bijection entre les deux ensembles considérés. Deux ensembles équipotents et finis ont le même nombre d'éléments. Dans le cas d'ensembles infinis, ils ont un "même infini" d'éléments. Par exemple, Cantor a démontré, avec l'argument de la diagonale de Cantor, que R et N ne sont pas équipotents, bien qu'ils soient tous deux infinis. Ils ne possèdent pas le "même infini".

Par contre, pour revenir à ton problème, il est aisé de construire une bijection de n'importe quel intervalle de R sur R. Donc tout intervalle de R est "aussi grand" que R.

Ok, je me disais bien que c'était moi qui avais un problème dans ma notion de "plus d'éléments".
Merci beaucoup pour cette réponse rapide et clair.

De la même manière (et c'est vrai que ça peut paraître bizarre), il existe des bijections de $ \mathbb Q $ vers $ \mathbb N $.

bubulle a écrit :De la même manière (et c'est vrai que ça peut paraître bizarre), il existe des bijections de $ \mathbb Q $ vers $ \mathbb N $.

C'est surprenant mais après tout pourquoi pas vu ce qui a été dit plus haut. Pourrais tu m'en donner un exemple ?

Merci beaucoup !

Reste plus qu'à lire tout ça au calme et à attendre l'année prochaine pour avoir le cours !

Merci à tous de vos réponses ! (Ça me donne encore plus envie d'être au mois de Septembre !)

Cantor lui-même était surpris, pour ne pas dire choqué par ses propres conclusions. Donc ne t'en fais pas, tout ça viendra en temps voulu.

bubulle a écrit :De la même manière (et c'est vrai que ça peut paraître bizarre), il existe des bijections de $ \mathbb Q $ vers $ \mathbb N $.

Sinon (et la bijection est plus facile à imaginer), il existe une bijection de $ 2 \mathbb N $ (l'ensemble des entiers naturels pairs)vers $ \mathbb N $.

Hachino a écrit :Cantor lui-même était surpris, pour ne pas dire choqué par ses propres conclusions. Donc ne t'en fais pas, tout ça viendra en temps voulu.

et finit dans un asile psychiatrique